Mathématiques 3: Probabilités
Échantillonnage
Intervalle de confiance
Intervalle de fluctuation
Exercices: Élections

Élections 1

1) Avant les élections, le candidat A commande un sondage effectué sur 300 personnes.

155 personnes interrogées déclarent avoir l'intention de voter pour le candidat A. Le candidat A peut-il espérer être élu ?

2) Le candidat B commande un second sondage effectué sur 1200 personnes pour lequel 800 personnes déclarent avoir l’intention de voter pour lui.

Le candidat A peut-il espérer être élu ?

Réponse

1) Soit p la proportion théorique d'électeurs pour le candidat A. La fréquence observée est égale à f = 155/300 = 0.52

L’intervalle de confiance de p au seuil de 0.95 est :

IC = 0.52 - 1/√300 ; 0.52 + 1/√300

soit de façon approchée [0.46 ; 0.58].

On a donc : 0.46 < p < 0.58.

Une partie de l'intervalle de confiance (de 0.46 à 0.59) se situe avant les 50%, il est donc possible que le candidat A ne soit pas soit élu.

2) La fréquence observée pour B est égale à f = 800 /1200 = 0.67

L'intervalle de confiance de p au seuil de 0.95 est :

IC = 0.67 - 1/√1200 ; 0.67 + 1/√1200

soit de façon approchée [0,51 ; 0,57].

On a donc : 0.64 < p < 0.70.

La proportion théorique évaluée est supérieure à 50%.

Le candidat A peut donc espérer être élu puisque 95% des échantillons possibles de taille 1200 seraient compris dans cet intervalle

Élections 2

On fait l'hypothèse que p = 58% des électeurs ont voté pour le candidat A.

On fait alors l'expérience en interrogeant un échantillon de N = 60 personnes à la sortie des urnes

Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

Réponse

Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de OUI pour le condidat A.

Si on trouve Y ce nombre, alors la fréquence observée f = Y/N doit être à l'intérieur de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% :

If = [p - 1/√n , p + 1/(radic;n ] = If = [0.58 - 1/√60 , 0.58 + 1/√60 ] = [0.45 , 0.71 ]

If = [0.45 , 0.71 ]

Sinon, on rejète l'hypothèse.

Exemples

• Si Y = 30 → f = 30/60 = 50% OUI , on retient l'hypothèse.

• Si Y = 10 → f = 10/30 = 33% NON , on rejète l'hypothèse.