Mathématiques 3: Algèbre linéaire
Les matrices

1. Définitions

• La comatrice cof(A) d'une matrice carrée A est une matrice dont les élements sont les cofacteurs de A.

• Le cofacteur d'un élément a_ij de la matrice A est le nombre c_ij, défini par:

c_ij = (- 1)^i+j m_ij

où m_ij est le mineur de l'élement a_ij.

• Le mineur m_ij d'un élément a_ij de la matrice A est le determinant de sa sous-matrice carrée ne contenant pas les éléments de la ligne i et la colonne j.

• La matrice transposée d'une matrice A est la matrice tra(A) obtenue en inversant lignes et colonnes de la matrice A. C,est à dire que les lignes de tra(A) sont les colonnes de A et les colonnes de tra(A) sont les lignes de A.

• La matrice transposée de la comatrice est appelée matrice complémentaire com(A) de A.

com(A) = tra(cof(A))

• Si la matrice A est inversible, la matrice inverse de A, notée A^-1 est le rapport de la complémentaire de A par le déterminant de A:

A^-1 = com(A)/det(A)

• La matrice conjuguée d'une matrice A est la matrice conj (A) formée des éléments conjugués de A. La matrice conjuguée d'une matrice réelle est égale à elle même.

• La matrice adjointe ou transconjuguée adj(A) d'une matrice A est la matrice transposée de la matrice conjuguée de A. Dans le cas particulier où A est à coefficients réels, sa matrice adjointe est donc simplement sa matrice transposée.

A^-1 = conj(com(A))/det(A) = conj(tra(cof(A)))/det(A) = adj(cof(A))/det(A)

A^-1 = adj(cof(A))/det(A)

Une matrice stochastique est une matrice carrée de réels > 0 dont la somme des éléments sur chaque ligne est égale à 1.

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients qui ne sont pas ceux de la diagonale principale sont nuls.
Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls.

Une matrice carrée A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P telle que P A P^-1 est une matrice diagonale.
Toutes les matrices normales sont diagonalisables.

Une matrice identité est une matrice diagonale dont les coefficients de la diaginale sont tous égaux à 1.
Une matrice diagonale est proportionnelle à une la matrice identité.

Une matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée. C'est à dire A = tra(A).

Une matrice carrée est dite normale si elle commute avec sa transposée . C'est à dire: A tra(A) = tra(A) A.

Une matrice est orthonormale si l'ensemble de tous ces vecteurs sont orthonormaux.
Une matrice orthonormale A satisfait A tra(A) = I, c'est-à-dire que sa transposée est son inverse par la droite.
Une matrice orthonormale n’est pas nécessairement carrée.

Une matrice est dite régulière si elle ne contient aucun zéro.