Mathématiques 3: Probabilités
Loi binomiale
Statistiques

1. Définitions

Dans le sens commun, au sondages par exemple , un échantillon est un sous-ensemble obtenu par prélèvement aléatoire dans une population.

On utilise aussi le terme échantillon en probabilité. Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience.

On a:

• Intervalle de fluctuation d’une fréquence.
• Intervalle de confiance d’une proportion.

2. Intervalle de fluctuation

2.1. Définitions

On utilise un intervalle de fluctuation lorsque la proportion p dans la population est connue ou si l’on fait une hypothèse sur sa valeur et le prise de décision sera faite à partir d’un échantillon .

La fréquence f observée dans un échantillon « doit » appartenir à l’intervalle de fluctuation considéré.

Une approximation de l'expression de l'intervalle de fluctuation est:

I_f = [p - 1/√n , p + 1/√n ]

C'est l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, centré autour de p qui est la proportion du caractère dans la population.

Il contient, avec une probabilité, d'au moins égale à 0.95, la fréquence observée dans un échantillon de taille n.

c'est en fonction de l’appartenance ou non de la fréquebce mesurée f à l’intervalle de fluctuation à 0.95 que l’on prenne, une décision concernant la conformité de l’échantillon.

Si f n’appartient pas à l’intervalle, on rejette, au risque d’erreur de 5 %, l’hypothèse que l’échantillon est compatible avec le modèle.

Dans le cas contraire, on ne peut pas rejeter l’hypothèse.

D’après le théorème de Moivre-Laplace (approximation par la loi normale), environ 95 % des échantillons de taille n fournissent une fréquence f appartenant à l’intervalle:

[p - 1.96 √[p(1 - p)/n], p + 1.96 √[p(1 - p)/n] ]

On peut majorer: 1.96 √[p(1 - p)] à 1 pour obtenir la formule précédente.

2.2. Intervalle de fluctuation et Loi binomiale

L’intervalle de fluctuation à 95% d’une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire, d’une variable aléatoire X de loi B(n; p) est l’intervalle:

[a/n; b/n]

a et b sont défini par :

• a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) > 0.025 ;
• b est le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0.975.

2.3. Expression littérale de l'intervalle de
fluctuation et Loi binomiale

Si Fn = variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille n, associe la fréquence d’apparition du caractère dans cet échantillon, l'intervalle de fluctuation est:

I_f = [p - u_α√[p(1 - p)/n], p + u_α√[p(1 - p)/n] ]

C'est l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 1 - α de Fn .

Il contient Fn avec une probabilité d’autant plus proche de 1 - α que n est grand.

Généralement, on prend:

α = 0.05 ; 1 - α = 0.95 ; u_α = 1.96 (seuil 95 %).

3. Intervalle de confiance

3.1. Définitions

On utilise un intervalle de confiance lorsque l’on veut estimer une proportion inconnue p dans une population à partir de la fréquence f observée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d’un sondage).

Ici, Il s'agit d'une estimation d’une proportion inconnue p grâce à un échantillon aléatoire.

Soit f la fréquence observée dans un échantillon de taille n. On peut faire une estimation ponctuelle en posant p = f . Cette estimation varie d’un échantillon à l’autre du fait de la fluctuation d’échantillonnage.

On cherche donc un intervalle de confiance de la proportion p, c’est-à-dire un intervalle contenant « très vraisemblablement » p, à partir de la fréquence f .

3.2. Définitions

Une approximation de l'expression de l'intervalle de confiance est:

Si n ≥ 30 et si nf > 5 et n(1 - f ) > 5, un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 0.95 est:

I_c = [f - 1/√n , f + 1/√n ]

Parmi tous les échantillons de taille n possibles, 95 % des intervalles associés I_c contiennent p.

Une fois l’échantillon tiré, l’intervalle de confiance associé est entièrement fixé, il n’y a plus d’aléatoire à ce stade.

Il est donc incorrect de dire que p a une probabilité 0.95 d’appartenir à cet intervalle (p est inconnu mais pas aléatoire).