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Mathématiques 3: Algèbre
Suites et series
Suite géométrique
Suite géométrique
1. Terme général de la suite géométrique
Nous avons la suite géométrique de raison q suivante:
(Un) : U0, U1, U2, ... Un, ...
U0 , le premier terme
U1 = U0 x q
U2 = U1 x q = U0 q2
...
Un = U0 qn
Qui est le terme général de la suite.
Un = U0 qn
2. Somme des n premiers termes de
la suite des carrés
La somme des n premiers termes de la suite des carrés est:
Sn = U0 + U1 + U2 + Un-2 + Un-1 + Un
= U0( 1 + q + q2 + q3 + ... + qn)
On multipliant par q les deux membres de l'équalité, il vient:
qSn = U0( q + q2 + q3 + ... + qn+1)
En soustrayant membre à membre, on obtient:
(1 - q) Sn = U0 (1 - qn+1)
D'où:
Sn = U0 (1 - qn+1) /(1 - q)
Sn = U0 (1 - qn+1) /(1 - q)
3. Exemple
(Un) : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
U0 = 1 , le premier terme
U1 = 2 = 2 x 1
U2 = 4 = 2 x 2
U3 = 8 = 2 x 2 x 2
...
Un = U0 x qn =
1 x 2n = 2n
Qui est le terme général de la suite.
Un = 2n
On applique la formule:
Sn = U0 (1 - qn+1) /(1 - q)
= 1(1 - 2n+1) /(1 - 2) = 2n+1 - 1
Sn = 2n+1 - 1
Pour le 5ème terme → n = 4:
Un = 2n = 24 = 16
U4 = 16
S4 = 2n+1 - 1 = 25 - 1 = 31
S4 = 31
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