Mathématiques 2
Mathématiques 34
Exercices de
perfectionnement
Je confirme mes acquis
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Mathématiques: Problèmes type Brevet
Exercice 1
Soient deux droites (BC) et (AD) qui se coupent en E.
On donne : AE = 7 cm ; EB = 13 cm ; EC = 10 cm ,
et ED = 9.1 cm .
a) Montrer que les droites (BD) et (AC) sont parallèles
b) Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles? Justifier.
c) Quelle est la nature du polygone ABCD?
Réponse
On sait que:
les droites (BC) et (AD) se coupent en E.
AE = 7 cm ; EB = 13 cm ; EC = 10 cm ,
et ED = 9.1 cm .
a) Nous avons:
EB/EC = 13/10 = 1.3
ED/EA = 9.1/7 = 1.3
On trouve EB/EC = ED/EA
De plus les points B, E, C et D, E, A sont alignés dans
cet ordre.
D'après la réciproque du théorème de Thalès,
(BD) et (AC) sont parallèles.
b) Les points B, E, C et A, E, D sont alignés dans
cet ordre.
EB/EC = 13/10 = 1.3
EA/ED = 7/9.1 = 0.77
On trouve EB/EC ≠ ED/EA
D'après la réciproque du théorème de Thalès,
(BD) et (AC) ne sont pas parallèles.
Remarqhe : Si ces deux droites étaient
parallèles, on aurait un parallélogramme où
les digonales se couperaient en leur milieux;
ce qui n'est pas le cas.
c) Le polygone ABCD formé est juste un trapèze.
Exercice 2
On considère deux cercles C1 et C2 tangents en B.
Soient M un point sur le cercle C2 et N un
point sur le cercle C1 telque les points M, B et N
sont alignés.
On donne AB = 2 cm, BC = 3 cm et BM = 2.4 cm.
a) Montrer que les triangles ANB et BMC sont rectangles
b) Montrer que les droites (AN) et (MC) sont parallèles
c) Montrer que le triangle ANB et une réduction
du triangle BMC. Quel est alors le rapport de
réduction?
d) calculer MC, BN et AN
Réponse
a) On sait que M est un point du cercle C2. De plus le côté BC
du triangle BMC est le diamètre du cercle C2.
D'après la propriété :
« Si un point appartient à un cercle , alors il forme
avec les extrémités d'un diamètre un angle droit.»,
Donc les triangles ANB et BMC sont rectangles.
b)
On sait que la droite (MN) est perpendiculaire aux deux droites
(AN) et (MC)
D'après la propriété :
«
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors
elles sont parallèles entre elles.
»
Donc les droites (AN) et (MC) sont parallèles
Remarque:
On peut également utliser le propriété suivante :
« Si deux droites coupées par une sécante forment des
angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
»
c) On sait que les triangles ANB et BMC sont des triangles rectangles:
Les angles M et N sont droits, et
Les angles MBC et NBA sont opposés par le sommet, donc égaux.
Donc leurs angles complémentaires BCM et NAB sont égaux.
Ainsi, les trois angles dans les deux triangles ANB et BMC sont
conservés.
Par conséquent, les triangles ANB et BMC sont une réduction ou un agrandissement de
l'autre.
Puisque AB = 2 cm et son homologue BC = 3 cm, plus grand que AB, alors
le triangle ANB est une réduction du triangle BMC.
Le rapport de réduction est égal à AB/BC = 2/3.
d)
• Calcule de BM
On sait que le triangle ANB est une réduction du triangle BMC.
Donc leurs longueurs sont proportionnelles. D'où:
BA/BC = BN/BM = AN/CM = 2/3
BN/BM = 2/3
BN = (2/3) x BM = (2/3) x 2.4 = 1.6
BN = 1.6 cm
• Calcule de MC
On sait que le triangle BNC est rectangle.
D'après la propriété de Pythagore:
BC2 = BM2 + MC2 . D'où:
MC2 = BC2 - BM2
32 - 2.42 = 3.24 = 324/100
= 182 /102
MC = √(182 /102) = 18/10
= 1.8
MC = 1.8 cm
• Calcule de AN
AN/CM = 2/3
AN = (2/3) x CM = (2/3) x 1.8 = 1.2
AN = 1.2 cm
Propriété de reconnaissance d'un agrandissement ou
d'une réduction
Une figure est un agrandissement ou une réduction de l'autre si l'une des deux cinditions et
vérifiée:
• les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles, ou
• les angles sont conservés.
Le rapport de proportionnalité, c'est le coefficient de l'agrandissement
ou de réduction. D'agrandissement s'il est supérieur à 1 et de réduction
s'il est inférieur à 1.
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