Mathématiques: Géométrie
Définitions et propriétés fondamentales

Il faut les connaitre par coeur,
c'est incoutournable ..

Qudrilatères

Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dans lequel:
les côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur.
les diagonales se coupent en leur milieu.

Rectangle

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur.

Carré

Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.
les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur.

Losange

Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Propriété de Pythagore

Théorème de Pythagore:

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

Réciproque du théorème de Pythagore:

Si dans un triangle le carré d'un coté est égal à la somme des deux autres, alors ce triangle est rectangle.

Droites remarquables

Médiatrice:

La médiatrice d'un segment est la perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.

La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points qui sont équidistants des extrémités de ce segment.

La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.

Les médiatrices des 3 côtés d'un triangle sont concourantes.
Leur point commun est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Lorsque le triangle a 3 angles aigus le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle.

hauteur:

Une hauteur dans un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

La hauteur issue d'un sommet ne coupe pas toujours le côté opposé à ce sommet, c'est le cas d'une hauteur extérieure.

Dans un triangle les 3 hauteurs sont concourantes. Leur point commun est appelé orthocentre du triangle.

Quand le triangle a 3 angles aigus l'orthocentre est à l'intérieur du triangle, quand le triangle a un angle obtus l'orthocentre est à l'extérieur du triangle.

bissectrice:

La bissectrice d'un angle es la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Les bissectrices des 3 angles d'un triangle sont toujours concourantes.
Leur point commun est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Le centre du cercle inscrit est toujours à l'intérieur du triangle.

Médiane:

Une médiane dans un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Dans un triangle les 3 médianes sont concourantes. Leur point commun est appelé centre de gravité du triangle. Il est situé sur chaque médiane aux deux tiers à partir du sommet.

Le centre de gravité d'un triangle est toujours à l'intérieur de ce triangle.

Triangle isocèle:

Dans un triangle isocèle, la droite issue du sommet principal est à la fois médiane, hauteur, médiatrice, et bissectrice.

Pour qu'un triangle soit isocèle il suffit qu'une même droite vérifie DEUX de ces conditions à la fois.

Triangle équilatéral:

Dans un triangle équilatéral les médianes, les hauteurs, les médiatrices, et les bissectrices sont confondues.

Triangle rectangle et cercle

Propriété 1

Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse.

Réciproque de la propriété 1:

Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle.

Propriété 2:

Si un angle droit, alors son sommet appartient au cercle de diamètre son côté opposé.

Réciproque de la propriété 2:

Si un point appartient à un cercle , alors il forme avec les extrémités d'un diamètre un angle droit.

Propriété 3:

Si un triangle est rectangle, alors la longeur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longeur de l'hypoténuse.

Réciproque de la propriété 3:

Si dans un triangle la longeur d'une la médiane est égale à la moitié de la longeur du côté correspondant, alors ce triangle est rectangle.

Théorème de Thalès

1. Théorème de Thalès direct

1ere version: (version 4e)

Dans un triangle ABC,
si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC],
et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles,
alors :

AM/AB = AN/AC = MN/BC

2eme version:

Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de la droite (d’), distincts de A.

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :

AM/AB = AN/AC = MN/BC

2. Réciproque du Théorème de Thalès

Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de (d’), distincts de A.

Si AM/AB = AN/AC , et
Si les point ABM et ACN sont allignés dans le même ordre ,
alors les droites (AB) et (MN) sont parallèles.

Théorème des milieux

1. Énoncé du théorème

La droite qui passe par les milieux de deux côtés d'un triangle quelconque est parallèle au troisième côté.

La longueur du segment qui a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle quelconque est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Distance et bissectrice

Propriété:

Si un point est sur la bissectrice d'un angle, alors il est à égal distance des côtés de cet angle

Propriété inverse:

Si un point est à égal distance des côtés d'un angle, alors il est sur la bissectrice de cet angle.