Mathématiques: Arithmétique

Exercice 1

1) Sans faire de calcul, commen peut-on justifier que la fraction 1848/2040 n’est pas irréductible ?

2) Calculer le PGCD des nombres 1848 et 2040 en indiquant la méthode.

3) Simplifier la fraction 1848/2040 pour la rendre irréductible.

↓Réponse↑

1) 1848 et 2040 sont tous les deux divisubles par deux puisqu'ils se terminent par des nombres pairs qui sont o est 8. Donc la fraction 1848/2040 n’est pas irréductible.

2) On calcule le pgcd des nombres 1848 et 2040 par les quatres méthodes différentes suivantes:

a) méthode de soustractions successives:

2040 - 1848 = 192
1848 - 192 = 1656
1656 - 192 = 1464
1464 - 192 = 1272
1272 - 192 = 1080
1080 - 192 = 888
888 - 192 = 696
696 - 192 = 504
504 - 192 = 312
312 - 192 = 120
192 - 120 = 72
120 - 72 = 48
72 - 48 = 24
48 - 24 = 24
24 - 24 = 0

pgcd (1848,2040) = 24

b) méthode d'algorithme d'Euclide

2040 / 1848 = 1 reste 192
1848/192 = 9 reste 120
192/120 = 1 reste 72
120/72 = 1 reste 48
72/48 = 1 reste 24
48 /24 = 2 reste = 0

pgcd (1848,2040) = 24

c) méthode de listes de diviseurs

Diviseures de 1848 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 14, 21, 22, 24, 28, 33, 42, 44, 56, 66, 77, 84, 88, 132, 154, 168, 231, 264, 308, 462, 616, 924, 1848 .

Diviseures de 2040 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 24, 30, 34, 40, 51, 60, 68, 85, 102, 120, 136, 170, 204, 255, 340, 408, 510, 680, 1020, 2040 .

Le plus grand diviseur commun à 1848 et 2040 est 24.

pgcd (1848,2040) = 24

d) méthode des facteurs premiers

• On développe les deux nombres en produit de facteurs premiers:

1848 = 2 x 924 = 2 x 2 x 462 =
2 x 2 x 2 x 3 x 77 = 2³ x 3 x 7 x 11

2040 = 2 x 1020 = 2 x 2 x 510 =
2 x 2 x 2 x 255 = 2 x 2 x 2 x 3 x 85 =
2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 17 = 2³ x 3 x 5 x 17

• On note tous les facteurs communs aux deux nombres,
chacun avec son plus petit exposant:

2³ x 3

• On fait le produit de ses facteurs communs, 8 x 3 = 24

• Ce produit 24 est le PGCD de ses nombes.

pgcd (1848,2040) = 24

3) 1848/2040 = 2³ x 3 x 7 x 11/2³ x 3 x 5 x 17 = 7 x 11/ 5 x 17 = 77/85

Exercice 2

1) Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de votre choix.
Faire apparaître les calculs intermédiaires.

2) En déduire la forme irréductible de la fraction 170/238

Exercice 3

Simplifier par 3 la fraction 1404/3465.

La fraction obtenue est-elle irréductible ? Justifier

Exercice 4

Soit la fraction A = 108/288.

1) Pourquoi la fraction A n’est-elle pas irréductible ? Justifier sans faire de calcul.

2) Trouver la liste des diviseurs de 108 puis celle de 288.

3) En déduire le PGCD de 108 et 288.

4) Ecrire la fraction A sous forme irréductible.

Exercice 5

Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier.

1) 3/25 est un nombre décimal.
2) Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux.
3) La somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.

Exercice 6

1) En précisant la méthode utilisée, calculer le PGCD de 378 et 270.

2) Pour organiser des récompenses au collège, on dispose de 378 livres de Mathématiques et 270 livres de Sciences Physiques.

On veut faire le plus grand nombre de lots identiques en utilisant toutes les livres.

a) Combien de lots identiques pourra-t-on faire ?
b) Quelle sera la composition de chacun de ces lots ?

Exercice 7

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le nombre caché :

– Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400.
– Je suis pair.
– Je suis divisible par 11.
– J’ai aussi 3 et 5 comme diviseur.
Qui suis-je ?.

Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur.

↓Réponse↑

les nombres divisibles par 11 (ou les multiples de 11)
compris entre 100 et 400 sont:

110, 121 , 132, 143, 165,1 76, 187, 198, 209, 220,
231, 242, 253, 264, 275, 286, 297, 308, 319, 330,
341,352,363,374,385, et 396.

Parmi ces nombres, ceux qui sont pairs sont:

110, 132,176, 198, 220, 242, 264, 286, 308,
330, 352, 374, et 396.

Parmi ces nombres, ceux qui sont divisibles par 3 sont:

132, 198, 264, 330, et 396.

Et enfin, parmi ces derniers, ceux qui sont divisibles
par 5 (il y a juste un):

330.

Réponse:

330

Exercice 8

Tom possède 70 pièces de 25 ¢ et 105 pièces de 10 ¢. Il veut faire de lots identiques, c’est-à-dire comportant le même nombre de pièces et le même montant d'argent.

1) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser ?

2) Combien y aura-t-il, dans ce cas, de pièces par lots ?

3) Vérifier de deux façons différentes que le montant d'argent vaut 40.00 $.

Exercice 9

En utilisant la méthode de votre choix, démontrer que les nombres 1 432 et 587 sont premiers entre eux.

Exercice 10

Ecrire sous forme irréductible la fraction 630/924, en donnant le détail de tous les calculs.

Exercice 11

1) Déterminer le PGCD de 264 et 462 en explicitant les calculs.

2) En déduire la forme irréductible de la fraction 462/264.

Exercice 12

1) Calculer le PGCD de 702 et 468 (on détaillera les calculs nécessaires).

2) Une feuriste dispose 702 roses blanches et 468 roses rouges.

Elle désire réaliser des bouquets identiques (c’est-à-dire comprenant un même nombre de roses et la même répartition entre les roses blanches et les rouges) en utilisant toutes les roses.

a) Quel sera le nombre maximal de bouquets identiques ? Justifier clairement la réponse.
b) Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?

Exercice 13

1) Justifier sans calcul que 850 et 714 ne sont pas premiers entre eux.

2) a) Déterminer par la méthode de votre choix, en détaillant les différentes étapes, le PGCD de 850 et 714.
b) En déduire la fraction irréductible égale à 850/714.

Exercice 14

On considère la fraction 190/114. 1) Expliquer pourquoi cette fraction n’est pas irréductible.

2) Déterminer le PGCD des nombres 190 et 114 par la méthode de votre choix (faire apparaître les calculs utilisés).

3) En déduire la forme irréductible de la fraction 190/114.

Exercice 15

1) a) Reproduire le tableau ci-dessous et compléter chaque case par oui ou par non.

	2	3	5	9
1035 est divisible par
774 est divisible par
322 est divisible par

b) D’après ce tableau, les fractions 774/1035 et 322/774 sont-elles irréductibles ? Pourquoi ?

2) Calculer le PGCD de 322 et 1 035 par la méthode de votre choix. La fraction 322/1035 est-elle irréductible?

Exercice 16

1) Déterminer le PGCD des nombres 5 148 et 2 431.

2) On pose : A = 5148/2431.

Ecrire A sous la forme d’une fraction irréductible.