Mathématiques
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Propriétés des
nombres entiers
Calculateurs
Exercices de
perfectionnement
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Mathématiques: Algèbre
Diophante
Équations diophantiènnes
1. Diophante
Diophante est un mathématicien grec. Il a vécu entre 200 et 300 de notre ère, en Alexandrie (Égypte). Selon l'épitaphe sur sa pierre tombale, il a vécu 84 ans.
De tradition, les mathématiciens de la grèce antique s'intéressaient
à la géométrie, Diophante faisait l'exception d'avoir être
passionné par les nombres.
Diophante ne travaillait que sur des exemples numériques. Sans
une méthode générale de résolution, Il donnait donc souvent une seule solution parmi toutes les possibilités.
Diophante est souvent considéré comme le dernier grand mathématicien du monde helléniste et comme le seul algébriste ayant écrit en grec, et il appartient au panthéon des plus grands mathématiciens.
L'ouvrage de Diophante Les Arithmétiques est consacré à la résolution des problèmes. Il comprenait 13 livres dont six sont conservés en grec; quatre viennent d'une traduction arabe retrouvés en Iran en 1968.
Une partie d'un autre ouvrage, le traité des Nombres polygones est également conservé.
On appelle nombre polygone , un nombre formé par la somme des premiers termes d'une série arithmétique de terme de premier rang égal à 1.
Les Arithmétiques sont une anthologie (recueil de morceaux) de 130 problèmes, souvent des équations dont Diophante cherche les solutions rationnelles et positives.
2. Équations diophantiènnes
Les équations de Diophante dans les Aritmétiques sont particulièrement
à plusieurs variables, à un degré ou plus, avec des coefficients entiers,
pour lequelles on recherche des solutions qui sont entières ou fractionnaires.
Une équation de tel type est alors dite équation diophantienne .
Autrement dit:
Une équation diophantienne est de la forme P(x, y, z, …) = 0
où P est un polynôme à coefficients dans Z ou Q,
dont on cherche des solutions dans Z ou Q.
Une équation du type ax + by = c où les coefficients
sont des entiers est une équation diophantienne.
L'équation x2 + y2 = z2 est également une équation diophantienne.
On attribue à Diophante l'indentité suivante:
(a2 + b2)(c2 + d2) =
(ac - bd)2 + (ad + bc)2
Le produit de la somme de deux carrés est égal à une somme
de carrés de nombres.
Diophante montra que l'équation xn + yn = zn
n'à pas de solution si n > 2.
Diophante est surnommé «le père de l'algèbre». Ce surnom vient en partie de Pierre de Fermat (1601 - 1665) qui trouva dans les Arithmétiques la réponse à sa proposition que « l’équation xn + yn = zn n'a pas de solution avec x, y, z > 0 et n > 2 » .
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