Mathématiques 45: Arithmétique
Division euclidienne

1. Définition

En arithmétique, la division euclidienne ou division entière est une opération de division qui fait intervenir quatre nombres entiers naturels : Le dividende, le diviseur, le quotient et le reste.

Le quotient et le reste sont les résultats de l'opération de division entière.

La division euclidienne se généralise aux entiers relatifs.

Ainsi à deux entiers naturels a et b, avec b non nul, la division euclidienne produit deux uniques entiers naturels: un quotient q et un reste r vérifiant l'égalité et l'inégalité suivantes:

a = bq + r et
r < b

$$\color{brown}{\Large\bf \text{Pour un couple d'entiers naturel (a, b), ll}}\\ \color{brown}{\Large\bf \text{ existe un unique couple (q, r) d'entiers}}\\ \color{brown}{\Large\bf \text{ naturels vérifiant :}}\\ \text{ }\\ \color{blue}{\LARGE\bf \text{ a = b x q + r}}\\ \color{blue}{\LARGE\bf r\lt b}\\ $$

2. Exemples

Exemple 1

On considère la division de 34 par 2:

34 = 2 x 10 + 14 n'est pas une division euclidienne parce que le reste 14 n'est pas inférieur au diviseur 2 .

Exemple 2

On considère la division de 34 par 10:

34 = 10 x 2 + 14 n'est pas une division euclidienne parce que le reste 14 n'est pas inférieur au diviseur 10 .

Exemple 3

On considère la division de 34 par 10:

34 = 10 x 3 + 4 est la division euclidienne parce que le reste 4 est inférieur au diviseur 10 .