Mathématiques 45: Arithmétique
Parité d'un nombre entier.

Il s'agit bien de la propriété d'un nombre d'être pair ou impair. Il s'agit bien aussi d'un nombre entier naturel ou relatif.

1. Multiple d'un nombre

Un nombre entier m est un multiple d'un nombre entier n s'il contient cet entier n un nombre entier de fois.

m = 12 est un multiple de n = 4.

Autrement dit,

Un multiple de n est le produit de n par un nombre entier m.

Un multiple m d'un entier n est un nombre qui, divisé par n, donne un résultat entier; c'est à dire la division euclidienne de m par n donne un reste égal à zéro.

Si m est un multiple de n, alors n est un diviseur de m.

12 est un multiple de 4, car 12 = 4 x 3, et 3 est un entier. Mais 17 n'est pas un multiple de 4.

2. Parité d'un nombre

Tout entier, naturel ou relatif est soit pair soit impair.

2.1. Nombre pair

Par définition, un entier pair est un entier multiple de deux.

Les entiers : - 18, - 6, 0, + 16 et 58, sont pairs.

Le nombre zéro est pair.

L'ensemble des entiers naturels pairs = {0, 2, 4, 6, 8, ... } = {2 n ; n € N}.

L'ensemble des entiers relatifs pairs = {..., - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6, 8, ... } = {2n ; n € Z}

Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

2.2. Nombre impair

Par définition, un entier impair est un entier qui n'est pas un multiple de deux.

Autrement dit, c'est le consécutif d'un nombre pair.

Les entiers : - 19, - 5, 1, + 15 et 53, sont impairs.

L'ensemble des entiers naturels impairs = {1, 3, 5, 7, 9, ... } = {2 n + 1 ; n € N}.

L'ensemble des entiers relatifs impairs = {..., - 7, - 5,- 3, - 1, 1, 3, 5, 7, ... } = {2n + 1 ; n € Z}

À l'exception de l'entier 2, tout nombre premier est impair.

3. L'existence de la parité d'un nombre

Prouver qu'un entier x est pair, c'est trouver l'entier n tel que n = x/2.

Prouver qu'un entier x est impair, c'est trouver l'entier n tel que n = (x - 1)/2.

L'existence d'un nombre pair n'est possible que si sa divistion par 2 est possible, c'est à dire entière.

L'existence d'un nombre impair n'est possible que si la divistion de son antécédent par 2 est possible, c'est à dire entière.


l'entier x = 51 est-il pair ?
Cette question est équivalent à:
Existe-t-il un entier n tel que 2 n = 51 ?
n = 51/2 n'est pas entier.
Donc n n'est pas possible.
Par conséquent x = 51 n'est pas pair.

l'entier x = 50 est-il pair ?
Cette question est équivalent à:
Existe-t-il un entier n tel que 2 n = 50 ?
Oui, n = 25 est entier.
Donc n est pas possible.
Par conséquent x = 50 est pair.

l'entier x = 50 est-il impair ?
Cette question est équivalent à:
Existe-t-il un entier n tel que 2 n + 1 = 50 ?
n = 49/2 n'est pas entier.
Donc n n'est pas possible.
Par conséquent x = 50 n'est pas impair.

l'entier x = 51 est-il impair ?
Cette question est équivalent à:
Existe-t-il un entier n tel que 2 n + 1 = 51 ?
Oui, n = 25 est entier.
Donc n est possible.
Par conséquent x = 51 est impair.

4. Exemples

Exemple 1

Trouver trois entiers consécutifs dont la somme est égale à 153.

Soit x le premier de ces trois nombres.

Donc x + (x + 1) + (x + 2) = 153.

C'est à dire 3x + 3 = 153

3x + 3 = 153

On obtient x = 50.

Les trois entiers consécutifs dont la somme est égale à 142 sont 50, 51, et 52.

Exemple 2

Trouver trois entiers pairs consécutifs dont la somme est égale à 142.

Soit x le premier de ces trois nombres. Son consécutif est x + 2, suivi par x + 4.

On cherche un entier n tel que x = 2n.

Donc 2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 142.

C'est à dire 6n + 6 = 142

n = 136/6 = 22, avec un reste égal à 4.

n trouvé n'est pas entier.
Donc n n'est pas possible. Par conséquent,
le problème n'a pas de solution. S = {} = Φ.

Exemple 3

Trouver trois entiers pairs consécutifs dont la somme est supérieure ou égale à 142.

Soit x le premier de ces trois nombres. Son consécutif est x + 2, suivi par x + 4.

On cherche un entier n tel que x = 2n.

Donc 2n + (2n + 2) + (2n + 4) ≥ 142.

C'est à dire 6n + 6 ≥ 142

n ≥ 136/6 = 22, avec un reste égal à 4. On prend n = 23.

Donc

x = 2 x 23 = 46.

Les trois premiers entiers paires consécutifs dont la somme est supérieure ou égale à 142 sont 46, 48, et 50.

Exemple 4

Trouver trois entiers impairs consécutifs dont la somme est inférieure à 142.

Soit x le premier de ces trois nombres. Son consécutif est x + 2, suivi par x + 4.

On cherche un entier n tel que x = 2n + 1.

Donc 2n + 1 + (2n + 1 + 2) + (2n + 1 + 4) < 142.

C'est à dire 6n + 9 < 142

n ≥ 133/6 = 22, avec un reste égal à 1. On prend n = 21.

Donc

x = 2 x 21 + 1 = 45.

Les trois entiers impaires consécutifs dont la somme est inférieure à 142 sont 45, 47, et 49.