Mathématiques 45: Arithmétique
Ppcm de deux entiers naturels
Exercices de perfectionnement

1. PPCM: Exercice résolu

On dispose de différentes façons pour trouver le ppcm de deux entiers naturels a et b.

On prendra l'exemple des deux entiers naturels:

a = 84 et
b = 90

• Méthode Des multiples

On ecrit tous les multiples du nombre a et du nombre b, ensuite on note le plus petit commun multiple des deux nombres.

On trouve les multiples d'un nombre en le multipliant par tous les entiers à partir de 1: 1, 2, 3, 4, .... On cherche les multiples de 84 et de 90 en même temps. Dès qu'on trouve um multiple commun, on arrête les opérations. Ce dernier multiple commun est le plus petit, donc c'est le ppcm cherché.

84: 84, 168, 252, 336, 420, 504, 588, 672, 756, 840, 924, 1008, 1092, 1176, 1260, 90: 180, 270, 360, 450, 540, 560, 720, 810, 900,990, 1170, 1260,

Ainsi, le ppcm de 84 et 90 est ppcm(84, 90) = 1260.

Cette méthode est trop longue!

• Méthode Des facteurs premiers

On décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers.

Le ppcm est alors le produit des facteurs premiers COMMUNS OU NON affectés du plus GRAND EXPOSANT .

84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 2² x 3 x 7
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x 5

Les facteurs premiers communs ou non à 84 et à 90 sont
2, 3, 5, et 7.

Chacun avec son plus grand exposant, leppcm est donc ppcm(84, 90) = 2² x 3² x 5 x 7 = 4 x 9 x 5 x 7 = 1260

Cette méthode est longue!. Mais, on dispose juste de la méthode des multiples et celle des facteurs premier comme méthode directes.

• Méthode PGCD - PPCM

Il s'agit ici d'utilser la formule:

pgcd(a, b) x ppcm(a, b) = a x b

Donc:

ppcm(a, b) = (a x b)/pgcd(a, b)

Si donc les deux méthodes directes sont longues, alors on peut utiliser la méthode la plus rapide pour calculer le pgcd, et ensuite diviser le produit des deux nombres par ce pgcd pour trouver le ppcm.

84 = 2² x 3 x 7
90 = 2 x 3² x 5

pgcd(84, 90) = 2 x 3 = 6

ppcm(a, b) = (84 x 90)/6 = 1260

Cette méthode semble la plus rapide !

2. Exercices

Exercice 1

Calculer le ppcm de 60 et 42 par les trois méthodes.

Exercice 2

Calcluer par une méthode de votre choix le ppcm des couples d'entiers naturels suivants:

1 et 1
0 et 3
18 et 42
30 et 50
45 et 66
25 et 100
105 et 180
30 et 180

Exercice 3

Sans donner les résulats correspondants, ecrire les décompositions des PPCMs des expressions suivantes:

Ememple:

a = 2³ x 3 x 5² x 7⁴
b = 2⁷ x 3² x 7⁸ x 11

ppcm(a,b) = produit des facteurs COMMUNS OU NON affectés de leur GRAND EXPOSANTS.

ppcm(a,b) = 2⁷ x 3² x 5² x 7⁸ x 11

1)
a = 2⁵x 3 x 5³ x 7²
b = 2⁷x 3 x 7⁷ x 11

2)
a = 2 x 3³ x 5³ x 7⁴
b = 2⁷ x 3² x 5⁸ x 11

3)
a = 2³ x 5² x 7² x 13
b = 2⁷ x 3² x 7⁸ x 13⁵

4)
a = 2³ x 3³ x 5² x 7²
b = 7⁸ x 11³ x 17

5)
a = 2³ x 3³ x 7²
b = 2⁵ x 3² x 7 x 11⁹

6)
a = 2³ x 7⁶ x 23³
b = 2¹⁷ x 3⁴ x 7⁸ x 11³

7)
a = 2³³ x 3³ x 5²² x 7⁴
b = 2⁷ x 3¹² x 7² x 11⁸