Mathématiques: Polynômes
Diviser des polynômes par un
polynôme de premier degré.
La division synthétique

La division synthétique est une méthode de division qui utilise plutôt les coefficients et l'addition, contrairement à la division posée qui utilise les exposants et la soustraction.

Méthode et exemple

(3x³ + 2x² - 4x + 5) ÷ (x + 7)

3x³ + 2x² - 4x + 5 est le dividende,
x + 7 est le diviseur.

Les étapes:

• Écrire le zéro du dénomonateur ZD: C'est - 7. ZD = - 7.
• Placer ce nombre à gauche

• À sa droite écrire tous les coefficients du dividende dans leur ordre décroissant:

- 7

3

2

- 4

5

• Abaisser le premier coefficient:

- 7	3	2	- 4	5
		3

• Le multiplier par le ZD

- 7	3	2	- 4	5
	3	3 x (- 7)

• Pacez le résultat obtenu sous le second coefficient.

- 7	3	2	- 4	5
	3	- 21

• Additionnez ce résultat au deuxième coefficient

- 7	3	2	- 4	5
	3	- 19

• Multiplier ce résultat par le ZD et placez le produit de la multiplication sous le troisième coefficient.

- 7	3	2	- 4	5
	3	- 19	133

• Additionnez ce résultat de la multiplication avec le troisième coefficient.

- 7	3	2	- 4	5
	3	- 19	129

• Multiplier ce résultat par le ZD et placez le produit de la multiplication sous le dernier coefficient.

- 7	3	2	- 4	5
	3	- 19	129	- 903

• Additionnez ce résultat de la multiplication avec le dernier coefficient.

- 7	3	2	- 4	5
	3	- 19	129	- 898

• C'est toujours le même procédé jusqu'à la somme finale. Cette somme correspond au reste de la division.

Puisque le divideur est un polynôme de premier degré, le quotion est toujours un polynôme de degré égal au degré du dividende - 1.

• Placer à droite de chacune des sommes calculées la variable x ayant un exposant de rang égal à son correspondant relatif au dividende - 1.

- 7	3	2	- 4	5
	3	- 19	129	- 898
	3 x2	- 19 x	129	Reste = - 898

(3x³ + 2x² - 4x + 5) ÷ (x + 7) = 3x² - 19 x + 129. Reste = - 898


(3x³ + 2x² - 4x + 5) = (x + 7) (3x² - 19 x + 129) - 898