L'intersection de deux ensembles est l'ensemlble
qui contient les élements communs à ces deux ensembles.
Si l'ensemble A = {1,2,3,4} et l'ensemble B = {2,4,6,7},
les éléments communs aux ensembles A et B sont {2,4}.
Ainsi l'intersection des ensembles A et B est
l'ensemble C = {2,4}.
On ecrit A ∩ B = C. Le symbol ∩ se lit inter
ou intersection.
Dans le diagramme de Venn, l'intersection des deux
ensembles A et B correspond à la partie coloriée.
2. Réunion de deux ensembles
La réunion de deux ensembles est l'ensemlble
qui contient tous les élements de ces deux ensembles.
Si l'ensemble A = {1,2,3,4} et l'ensemble B = {2,4,6,7},
tous les élements de ces deux ensembles sont {1,2,3,4,6,7}.
Ainsi la réunion des ensembles A et B est
l'ensemble D = {1,2,3,4,6,7}.
On ecrit A ∪ B = D. Le symbol ∪ se lit union.
Dans le diagramme de Venn, l'union des deux
ensembles A et B correspond à la partie coloriée.
2. Événements complémentaires
On considère un ensemble de référence R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
La pr
obabilité de l'événement obtenir un nombre pair
est 4/9.
La probabilité de l'événement obtenir un nombre impair
est 5/9.
La somme des probabilités des
événements est égale à 1.
On dit que l'événement obtenir un nombre pair est le complément
de l'événement obtenir un nombre impair
3. Compatibilité des événements
Lors d'une expérience aléatoire, si aucun des résultats
d'un événement A ne corresponde à des résultats
d'un événement B, alors les deux événements sont
incompatibles.
Lors d'une expérience aléatoire, si au moins un
des résultats d'un évenement A corresponde à des
résultats d'un évenement B, alors les deux
événements sont compatibles.
Les évenements obtenir un nombre pair et
obtenir un nombre impair sont incompatibles
car ils ne possèdent aucun résulat commun.
Les événements obtenir un nombre pair et
obtenir un nombre divisible par 3 sont
compatibles car ils possèdent au moins un résulat
commun.
Les événements obtenir un nombre impair et
obtenir un nombre divisible par 3 sont
compatibles car ils possèdent au moins un résulat
commun.
4. Probabilité des événements compatibles
Dans l' ensemble de référence R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Pour simplifier l'ecriture, on pose
Ep : l'évenement obtenir un nombre pair,
Ei : l'évenement obtenir un nombre impair,
Ed3: l'évenement obtenir un nombre divisible par 3.
Il n' ya aucun résultat commun aux évenements
Ep et Ei.
Le résultat commun aux évenements Ep et
Ed3 est 6.
Les résultats commun aux évenements Ei et
Ed3 sont 3 et 9.
Dans le diagramme de Venn, il y a 6 nombres dans l'ensemble
P ∪ I = {2,4,8,6,9,3}, ainsi
La probabilité de l'événement obtenir un nombre pair
ou ou un nombre disisible par 3 est: 6/9.
Donc, dans l'ensemble de référence R, La probabilité de
l'événement obtenir un nombre pair
ou ou un nombre disisible par 3 est: 6/9
Cette probabilité est égale aussi à . la probabilité
de l'événement: obtenir un nombre pair +
. la probabilité de l'événement obtenir
un nombre disisible par 3 -
. la probabilité de l'événement
obtenir un nombre à la fois pair et disisible
par 3 qui est: 1/9.
C'est à dire
4/9 + 3/9 - 1/9 = 6/9
On ecrit d'une façon générale:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
5. Exemple: Jeu de 52 cartes
le jeu de 52 cartes est un jeu de cartes
qui contient 52 cartes organisées en deux enseignes
ou couleurs: le noir et le rouge.
Le noir comporte 13 cartes de piques et 13 cartes
trèfles.
Le rouge comporte 13 cartes coeur et 13 cartes
carreaux.
Les 13 cartes de chaque série, qui est en nombre
de 4, 2 series rouges et deux séries noirs, sont
marquées de treise valeurs:
As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, et Roi.
La carte figure J (jack) est dite Valet qui signifie
serviteur,
La carte figure Q (queen) est dite dame,
La carte figure K (king) est dite roi.
P(A ∩ B) = P(dame noire) = 2/52 = 1/26
= P(A) x P(B) = 1/2 x 1/13 = 1/26
P(B ∩ C) = P(dame de coeur) = 1/52
= P(B) x P(C) = 1/13 x 1/4 = 1/52
P(A ∩ C) = P(noire de coeur) = 0/52
Tous les coeurs sont rouges.
P(Φ) = 0
P(C ∩ D) = P(figure de coeur) = 3/52
P(A ∩ B ∩ C) = P(dame noire de coeur) = 0/52
Tous les coeurs sont rouges
P(Φ) = 0
P(A ∪ B) = P(une noire ou une dame) =
P(une noire) + P(une dame) - P(noire et dame)
26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 = 7/13
P(C ∪ D) = P(une figure ou un coeur) =
P(une figure) + P(un coeur) - P(figure et coeur)
12/52 + 13/52 - 3/52 = 22/52 = 11/26
P(A ∪ B ∪ C) = P(une dame noire de coeur) =
P(A ∪ B) + P(C) - P((A ∪ B) ∩ C)
Avec:
P(A ∪ B) = P(A) + P( B) - P(A ∩ B)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
P((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= P((A ∩ C)) + P(B ∩ C) - P(A ∩ C ∩ B ∩ C)
On obtient:
P(A ∪ B ∪ C) =
P(A) + P( B) + P(C) - P(A ∩ B)
- P((A ∩ C)) - P(B ∩ C) + P(A ∩ C ∩ B ∩ C)
= 1/2 + 1/13 + 1/4 - 1/26 - 0 - 1/52 + 0 = 40/52 = 10/13.
6. Exercices
6.1. Exercice 1
Dans une classe, il y a 22 élèves; 12 d'entre eux
parlent anglais, 10 parlent français, 8 parlent
l'espagnol, 6 parlent anglais et français, 5 parlent
anglais et espagnol, 4 parlent français et espagnol,
et 2 parlent les trois langues.
Choisi au hasard, quelle est la probabilité qu'un élève:
a) parle anglais ?
b) parle anglais et espagnol ?
c) ne parle que l'anglais ?
d) ne parle que l'espagnol ?
e) parle français ou anglais ?
f) parle une des trois langues ?
6.2. Exercice 2: Probabilité par mesure
On lance une bille sur table quadrillée
où on a dessiné un cercle.
Un carreau représente une unité.
L'expérience aléatoire consiste à compter
le nombre de fois la bille s'est stabilisée
à l'intérieur du cercle ou le nombre de
fois à l'extérieur du cercle tout en
restant dans le carré.
a) Quel est la brobabilité que la bille
se stabilise à l'intérieur du cercle ?
b) Si on fait 50 lancements, quel sera le nombre
de fois la bille set stabiliserait à l'intérieur
du cercle ?
