Le nombre 4 correspond au nombre de choix possibles
des positions des trois P dans la séquence de quatre ou,
ce qui est identique, au nombre de choix de la position du F dans la séquence de quatre; c'est-à-dire au nombre
de combinaisons de placer le F dans une séquence de quatre,
qui est C(3,4)
Ainsi P(3P,1F) = C(3,4) x p3(1 - p)
3. Il existe C (2,4) = 6 façons d'obtenir
une séquence de deux P et de deux faces:
1. [P, P, F, F]: p x p x q x q = p2q2
2. [P, F, P, F]: p x q x p x q = p2q2
3. [F, P, P, F]: q x p x p x q = p2q2
4. [P, F, F, P]: p x q x q x p = p2q2
5. [F, F, P, P]: q x q x p x p = p2q2
6. [F, P, F, P]: p x q x q x p = p2q2
Ainsi
P(2P,2F) = C (2,4) x p2q2
La probabilité d'avoir toutes les séquences,
au quatrième jet, est la somme de 5 termes:
Notons X la variable aléatoire égale au nombre de "Face"
obtenues sur les quatre lancers.
Ici
Ω = {(0F, 4P), (1F, 3P), (2F, 2P), (4F, 0P)} et
X(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4} qui correspond à 4F, 3F, 2F,
1F, ou 0F respectivemenet.
La loi de probabilité de X est alors donnée par :
P(X = x) = C(x,4) . px(1 - p)4 - x
Si on note X la variable aléatoire égale au nombre
de succès obtenus sur les n répétitions,
la loi de probabilité de X est la loi binomiale
de paramètres n et p notée B(p, n, X = k), donnée par :
Pour tout k∊N tel que 0 ≤ k ≤ n ,
p(X = k) = B(p,n,k) = C(k,n) pk(1 - p)n - k
Répétition n fois, de manière indépendante,
d'une épreuve de Bernoulli.
p est la probabilité du succès, k le nombre de succès au nième
lancer.
4. Propiétés de la loi binomiale
4.1. Espérance mathématique
E(X) = Σ pi ki (i: 0 → m)
m = #Ωn
Pour une loi binomiale les ki sont des
nombres de 0 à m, relativement à un succès:
face par exemple, ki se confond avec i:
ki = i).
E(X) = Σ ki pi = Σ ki C(i, m) pi(1 - p)m - i = Σ i C(i, m) pi(1 - p)m - i
i C(i, m) = i m!/i!(m - i)! = m!/(i - 1)!(m - i)! =
m (m - 1)!/(i - 1)!(m - i)! = m C(i - 1, m - 1).
Donc
E(X) = Σ m C(i - 1, m - 1) pi(1 - p)m - i =
m pΣ C(i - 1, m - 1) pi - 1(1 - p)m - i
(i: 1 → m)
On change de notation en remplaçant i - 1 par j, il vient:
E(X) =
m pΣ C(j, m - 1) pj(1 - p)m - j - 1
(j: 0 → m - 1)
E(X) =
m p (p + 1 - p)m - 1 (formule du binome de Newton)
Donc
E(X) = mp
p est l'équiprobilité du succès.
m est le nombre de ki qui est le nombre de
succès qui figurent dans les wi. M a les
valeurs: 0, 1, 2, 3, ... n. Donc m est égal
à n pour la loi binomiale.
Pour une loi binomiale:
E(X) = n p
p est l'équiprobilité du succès.
n est le nombre d'étapes ( de fois)
d'une épreuve de Bernoulli.
4.2. Variance de la loi
binomiale
Dans la loi binomiale, la variable aléatoire
c'est d'avoir un succès.
La variance mathématique d’une loi binomiale
se calcule ainsi:
v(X) = Σpi(i - E(X))2
i de 0 à n
Σ C(i, n) pi qn-i
(i2 - 2np i + (np)2) =
Σ C(i,n)piqn-i(i2
- 2np Σ C(i, n) piqn-i i +
(np)2) Σ C(i, n) pi qn-i
Nous avons:
Σpi = 1
Σ C(i, n) pi qn-i i = E(X) = np
Σ C(i, n) pi qn-i = (p + q)n = 1
Σ C(i, n) pi qn-i i2
= Σ i . i C(i, n) pi qn-i
= Σ i . i . C(i, n) = i.i. n!/i!(n - i)! pi qn-i
= Σ i . n . (n - 1)!/(i - 1)!(n - i)! pi qn-i
= Σ i . n . C(n - 1,i - 1) pi qn-i .
On pose j = i - 1
= Σ (j + 1).n . C(n - 1,j) pj + 1 qn-1-j
= np Σ(j.C(n-1,j)pj qn-1-j +
np Σ C(n-1,j)pjqn-1-j
= np (n - 1)p + np .(p + q)n-1
= np (n - 1)p + np .(1)n-1 = np (n - 1)p + np
