Mathématiques 2: Analyse combinatoire
Ordre et répétition

Tirage avec ordre et avec répétition

1. Exemple

Combien de nombres à deux chiffres peut-on former avec les chiffres 1, 3 et 5 ?

Nous avons en tout 3 chiffres et on veut fabriquer un nombre avec 2 chiffres.

Ici l'ordre est important puisque , par exemple, 13 est différent de 31.

Ici aussi, Le tirage est avec répétition puisque les nombres 11, 22, et 33 sont recherchés (le chiffre des dizaines et le chiffre des unités pouvant être le même).

La question posée est reformulée ainsi:

Combien de résultas différents obtient-on en tirant au sort deux billes d’une boite qui en contient trois, une verte, une rouge et une blue, avec ordre et avec remise.

1re bille tirée = chiffre des dizaines,
2e bille tirée = chiffre des unités.

Réponse : 9 nombres :
11, 13, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55.

Le diagramme en arbre est le suivant:

2. Cas général

Le nombre d'objets d'un résultat est égal au nombre de tirages où l'on tire un objet à chaque tirage. Ce nombre est noté p.

Le nombre d'objets différents sur lequels on effectue l'expérience aléatoire est noté n.

1^er tirage → n possibilités
2^e  tirage → n possibilités
...        →     ...
p^e  tirage → n possibilités

Au total, nous avons n x n x ... x n = n^p possibilités. Ce nombre est appelé nombre d'arragements.

L'expérience aléatoire avec remise et avec ordre de p objets parmis n est un arrangement à répétition de n objets . Ce nombre est noté A(p,n) = n^p

Dans l'exemple ci-dessus, p = 2 et n = 3 . Ainsi les résultas sont en nombre de 3² = 9