Mathématiques 2: Probabilités
Les combinaisons et le poker

1. Jeu de cartes poker

Le Poker se joue avec un jeu de 52 cartes.
Les cartes sont classées selon les 13 valeurs :
As, Roi, Dame, Valet, 10, 9, 8, 7 6, 5, 4, 3, 2.
Et selon les 4 suites qui comportent deux couleurs: rouge: carreaux et cœurs,
noir: piques et trèfles.

Une main de poker se compose de 5 cartes.

On parle de "flush" si toutes les cartes sont de la même suite, et de "straight" si les valeurs sont successives.


Le brasseur distribue 5 cartes à chaque joueur.

Le paquet comporte 52 cartes. IL y a donc un nombre de combinaisons C(5,52) = 2 598 960 mains de 5 cartes possibles.

Sur C(5,52) mains possibles, le nombre de possibilités d'avoir x valeurs parmi les 13 est C(x,13). À l'intérieur d'une valeur, la probabilité d'avoir y suites parmi les 4 est C(y,4).

La probabilité d'avoir y suites dans x valeurs est égale à C(x,13).C(y,4)/C(5,52).

Selon les règles du jeu, 10 mains sont gagnantes au jeu de poker. On s'interesse aux probabilités de ces 10 combinaisons.

1. Couleur ou Flush


Se compose de cartes de même suite et de n'importe quelle valeure.

Il s'agit ici d'un flush sans straight. Le straight flush est une autre combinaison du poker.

Dans une suite, il y a 13 valeurs. Il y a donc C(5, 13) possibilités de constituer une main poker avec une suite. Comme il y a quatre suites, on aura donc 4 x C(5,13).

On doit exclure le nombre de straight flush qui vaut 40. Ainsi le nombre de possibilités d'avoir un straight est 4 x C(5,13) - 40 = 5 108 possiblités.

La probabilité d'avoir un flush est égale à
(4 x C(5,13) - 40)/C(5,52) = 0.196 %

2. Quinte ou Straight


Se compose de cartes de suites différentes avec n'importe quelles valeurs mais consécutives.

Il faut noter que (10, vallet, dame, roi, As) comme (As, deux, trois, quatre, cinq) sont des straights.

Un straight ne peut pas commencer par vallet, dame, ou roi. Il ne reste donc que 10 valeurs qui peuvent commencer un straight.

Donc pour chaque valeur v qui commence le straight, il y a 4 possiblités de suites qui forment les quatres couples (v, Pique), (v, trèfle), (v, coeur), et (v, carreau)

Pour la valeur consécutive suivante v+1, il y a quatre couples (v+1 Pique), (v+1, trèfle), (v+1, coeur), et (v+1, carreau)

...

Pour la cinquième et dernière valeur v+4, il y a quatre couples (v+4, Pique), (v+4, trèfle), (v+4, coeur), et (v+4, carreau)

Ainsi pour chacun des 4 couples (v, 4 suites), il lui correspond 4 x (v+1, 4 suites), qui à leurs tours leur correspodent 4 x (v+2, 4 suites) ... jusqu'au 4 x (v+4, 4 suites)

Ce qui donnent 4⁵ possiblités. Avec 10 valeurs, et en excluant 40 possibilités du straight flush, on trouve 10 x 4⁵ - 40 possibilités.

Ainsi

La probabilité d'avoir un straight est égale à
(10 x 4⁵ - 40)/C(5,52) = 10 200/C(5,52) = 0.39%

3. Straight flush


Se compose de cartes de même suite avec n'importe que valeurs mais consécutives.

Cette main poker inclu les 4 royal flush (10, Vallet, dame, roi, As)

Il faut noter que (10, vallet, dame, roi, As) comme (As, deux, trois, quatre, cinq) sont des straights.

Un straight ne peut pas commencer par vallet, dame, ou roi. Il ne reste donc que 10 valeurs qui peuvent commencer un straight.

Le nombre de staright possibles est donc 10 x le nombre de suites. Le nombre de suites vaut 4. Ainsi le nombre de straight possibles est donc 40.

La probabilité d'avoir un straight flush est égale à
40/C(5,52) = 0.0015 %

4. Quinte Flush Royal

Le Royal Flush est un straight flush avec les cartes extrêmes des 5 haut rangs, c'est à dire As, Roi, Dame, Valet, 10.

C'est un cas particuler du straight flush. Nous n'avons pas les 10 possibilités de valeurs, mais juste une.

Ainsi, il ya 4 possibilités d'avoir un flush royal. La probabilité d'avoir un flush royal est égale à
4/C(5,32) = 0.00015 %

5. Full ou Full House

Se compose de trois cartes d'une même valeur et d'une paire de n'importe quel autre valeur.
Les suites n'interviennent pas ici.

Pour les trois cartes:
Choisir une valeur → C(1,13).
À l'intérieur de cette valeur, choisir 3 suites → C(3,4).

Pour la paire:
Choisir une autre valeur → C(1,12).
À l'intérieur de cette valeur, choisir 2 suites → C(2,4).

Ainsi

Le nombre de combinaisons possibles est C(1,13)C(3,4).C(1,12)C(2,4) = 13 x 4 . 12 x 6 = 3744.

La probabilité d'avoir un full est égale à
C(1,13)C(3,4).C(1,12)C(2,4)/C(5,52)= 0.144%

6. Une paire ou One Pair


Se compose d'une paire d'une même certaine valeure. Les trois autres proviennent des autres différents valeurs.

Pour la paire, le nombre de cas possibles pour avoir une valeur est C(1,13). Pour cette valeur on a C(2,4) possibilités de suites. Donc C(1,13)C(2,4) possiblités.

Pour les trois restantes cartes, le nombre de cas possibles pour avoir trois autres différentes valeurs est C(3,12), chacune avec 4 suites possibles. Ce qui fait C(3,12) x 43.

Ainsi

Le nombre de combinaisons possibles d'avoir une paire est C(1,13)C(2,4) . C(3,12)43 = 1 098 240.

La probabilité d'avoir un full est égale à
C(1,13)C(2,4)C(3,12)43/C(5,52) = 42.26 %

7. Deux paires ou Two Pairs


Se compose de deux paires de valeurs différentes. La cinquième est une carte d'une autre valeur.

Pour les deux paires, le nombre de cas possibles pour avoir deux valeurs est C(2,13),

Chacune de ses deux valeurs comporte C(2,4) possibilités de suites. Donc C(2,13)C(2,4)C(2,4) possiblités.

Pour la carte qui reste, le nombre de cas possibles pour avoir une autre valeur différente est C(1,11), qui compte 4 suites possibles. Ce qui fait C(1,11) x 4.

Ainsi

Le nombre de combinaisons possibles d'avoir une main poker deux paires est C(2,13)C(2,4)C(2,4) . C(1,11) x 4 = 123 552.

La probabilité d'avoir un full est égale à
C(2,13)C(2,4)C(2,4) . C(1,11) x 4 /C(5,52) = 4.75 %

8. Carré ou Four of a kind


Se compose de toutes les quatres suites pour une certaine valeur. La cinquième est une carte d'une autre valeur.

Il y a une possibilité sur 13 d'avoir une valeur. Dans cette possibilité, il y en a quatre avec les 4 suites. Donc C(1,13) C(4,4) en tout.

Pour l'autre carte, c'est à dire la cinquième, il y a une possibilité sur 12 avec 4 suites, soit C(1,12) C(1,4).

Ainsi

Le nombre de combinaisons possibles d'avoir un carré est C(1,13) C(4,4) . C(1,12) C(1,4) = 624

La probabilité d'avoir un carré est égale à
C(1,13) C(1,4) . C(1,12) C(1,4) /C(5,52) = 0.024 %

9. Brelan Three of a Kind


Se compose de trois cartes de même valeur et de suites différentes. Les deux autres proviennent de deux autres différentes valeurs parmi les douzes qui restent.

Pour les trois cartes, il y a une possibilité sur 13 d'avoir une valeur.

Dans cette possibilité, il y en a trois sur quatre possibilités d'avoir trois suites. Donc C(1,13) C(3,4) en tout.

Pour les deux autres cartes, il y a C(2,12) possibilités d'avoir 2 valeurs différentes chacune avec C(1,4) possible suite, soit C(2,12) C(1,4)C(1,4).

Ainsi

Le nombre de combinaisons possibles d'avoir un brelan est C(1,13) C(3,4) . C(2,12) C(1,4)C(1,4) = 54 912

La probabilité d'avoir un carré est égale à
C(1,13) C(3,4) . C(2,12) C(1,4)C(1,4)/C(5,52) = 2.11 %

10. Carte haute ou High Card Only


Se compose de cartes au hasard. Pas de paires, pas de Quinte ou de flush.

Une main carte haute se compose donc de 5 valeurs distincts parmi les 13, soit C(5,13) possibilités.

De ces possibilités, il faut soustraire les straights qui sont en nombre de 10, soit donc C(5,13) - 10 possibilités.

Chacune de ces possiblités correspond à 4⁵ couleurs . Pour ne pas avoir la même couleur et donc un flush, il faut leur soustraire 4; soit 4⁵ - 4 couleurs.

Ainsi les C(5,13) - 10 possibilités doivent correspondre à 4⁵ - 4 couleurs.

Par conséquent, il y a (C(5,13) - 10 ) x (4⁵ - 4) mains carte haute.

(C(5,13) - 10 ) x (4⁵ - 4) = 1277 x 1020 /2598960 = 1302540 .

La probabilité d'avoir une carte haute est égale à
(C(5,13) - 10 ) x (4⁵ - 4) /C(5,52) = 1277 x 1020 /2598960 = 0.50 = 50 %.