Une expérience aléatoire est une expérience
dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon certaine.
Lancer un dé et noter le résultat obtenu est une
expérience aléatoire.
Pour des expériences aléatoires, on peut prévoir
l’ensemble des résultats possibles.
Lancer un dé comporte 6 résultats possibles,
qu'on noter dans un exemple {1,2,3,4,5,6}. L'ensemble des
résultats possibles d'une expérience aléatoire est
appélé référentiel.
1.2. Événement
Un événement ou éventualité est un fait qui se produit dans un lieu et
un temps détérminés.
Je tire une carte d'un jeu de 52
cartes. Tirer une carte est un événement.
Un événement qui se réalise toujours est un événement certain. Un
événement qui ne se réalise jamais est un événement impossible.
1.3. Événement élémentaire
Lorsqu'un événement ne fait intervenir qu’un seul
résultat d’épreuve, cet évenement est un
événement élémentaire.
En lançant une pièce de monnaie, nous distinguons deux
événements élémentaires : obtenir pile et
obtenir face.
Deux événements élémentaires quelconques différents sont
incompatibles. Un événement quelconque est une union
d’événements élémentaires.
1.4. Probabilité
La probabilité théorique d'un événement est
le nombre qui quantifie la possibilité que
cet événement a de se produire. Ce nombre est toujours
compris entre 0 et 1.
Probabilité théorique = (nombre de résultas favorables)/(
nombre de résultas possibles).
Je lance un dé de 6 faces et je souhaite avoir
un 6. Lancer le dé et obtenir une face 6 est
un événement élémentaire.
Le nombre de résultas favorables est 1, et
le nombre de résultas possibles est 6; donc
la probabilité théorique d'obtenir un 6 est 1/6.
1.5. Probabilité d'un événement composé
de plusieurs évenements élémentaires
Dans un sac il y a 9 billes au total. 4 billes jaunes,
3 billes blues, et 2 billes rouges.
Je considère l'événement suivant:
Tirer un bille jaune OU une bille rouge.
Cet évenement est
composé de deux événements élémentaires:
1. Tirer une bille jaune,
2. Tirer une bille rouge.
La probabilité de cet événement composé de deux
événements élémentaires est égal à la somme
des probabilités de chacun de ces évenements
élémentaires.
La probabilité de l'événement élémentaire
"tirer une bille jaune" est égale à 4/9.
La probabilité de l'événement élémentaire
"tirer une bille rouge" est égale à 2/9.
La probabilité de l'événement composé
"tirer une bille jaune ou une bille
rouge" est égale à 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3.
Plus lisiblement,
P(jaune ou rouge) = P(jaune) + P(rouge)
=
4/9 + 2/9 = 2/3.
1.6. Probabilité d'un événement élémentaire
d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes
Avec le sac de l'example plus haut, qui comporte
9 billes au total, dont 4 jaunes, 3 blues, et 2
rouges, on considère l'expérience aléatoire
suivante:
On tire une première bille du sac, on marque sa
couleur, et on la remet dans le sac; puis on tire une
deuxième bille et on marque sa couleur.
on considère l'évenement élémentaire suivant:
Tirer une bille jaune suivie d'une bille rouge.
Cet événement est élémentaire et l'expérience
aléatoire est à plusieurs étapes, à deux étapes.
La probabilité d'un évenement élémentaire
d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes est égale
au produit des probabilités des événements de
chacune des étapes qui forment l'événement
considéré.
On ecrit:
P(jaune suivie de rouge) = P(jaune) x P(rouge)
= (4/9) x (2/9) = 8/81.
Dans un énoncé de probabilité, l'expérience aléatoire à
plusieurs étapes, se traduit par le mot SUIVIE DE.
Dans un cas général d'une expérience aléatoire à
plusieurs étapes, on ecrit la probabilité
de l'événement A suivie de l'événement B:
P(A suivie de B) = P(A) x P(B, étant donné que A s'est déjà produit)
2. Exemples
2.1. Exemple 1
On met dans une boîte 5 billes numérotées
repectivement 1, 2, 3, 4 et 5. On tire une bille
et on note son numéro.
- La probabilté d'avoir un 4 est P(4) = 1/5.
- La probabilté d'avoir un 1 est P(1) = 1/5.
- La probabilté d'avoir un 4 ou un 1 est
égale à P(4ou1) = P(4) + P(1) = 1/5 + 1/5 = 2/5.
2.2. Exemple 2
L’alphabet français comporte 26 lettres dont
6 voyelles a, e, i, o, u, y et 20 consonnes
b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, z
On inscrit ces lettres dans des cartes
et on tire au hasard une carte.
- La probabilté d'avoir une voyelle est P(6) = 6/26 = 3/13.
- La probabilté d'avoir une consonne est P(20) = 20/26 = 10/13.
- La probabilté d'avoir la lettre "j" est P(j) = 1/26 .
- La probabilté d'avoir la lettre "x" ou la lettre
"y" est P(x ou y) = 1/26 + 1/26 = 2/26 = 1/13
- La probabilté d'obtenir l'une des lettres du mot "exemple"
est P(e ou x ou m ou p ou l) = 5 x 1/26 = 5/26.
3. Exercices
3.1 Exercice 1
On lance un dé équilibré à 4 faces numérotées
de 1 à 4; puis une pièce de monnaie équilibrée.
a) Déterminer l'univers des résultats possibles.
b) Déterminer les probabilités suivantes:
1) Avoir une face 3 suivie de face P(3 suivi de face) =
P(3,F).
2) Avoir un nombre pair suivie de face P(pair suivi de face)
= P(pair, face)= P(2,F) + P(4,F).
3) Avoir un carré parfait suivi de pile =
P(carré parfait suivi de pile) = P(carré parfait,P).
3.2 Exercice 2
Sur la carte de menu dans un restaurant,
on offre à Jim le choix parmi:
L’alphabet français comporte 26 lettres dont
6 voyelles a, e, i, o, u, y et 20 consonnes
b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, z
Sur la carte de menu dans un restaurant,
on offre à Jim le choix parmi: 