Quelle est la probabilité d'avoir une somme égale
à 6 si les deux dés indiquent des résultats différents?
Dans cette expérience aléatoire, l'ensemble fondamental
S contient 36 résultats possibles.
Soient les deux évenements suivants:
L'événement A: "somme est égale à 6"
A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
Donc P(A) = 5/36.
L'événement B: "deux résultats différents"
B contient 30 couples; les 36 couples de S sauf les 6
couples (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), et (6,6).
Donc P(B) = 30/36 = 5/6
la probabilité d'avoir une somme égale à 6 si les deux
dés indiquent des résultats différents est égale à
la probabilité d'avoir à la fois une somme égale
à 6 et deux résultats différents parmi tous
les résultats différents de l'ensemble B.
c'est à dire P(A∩B)/P(B) = 4/30 = (4/36)/(30/36) qui
vaut 2/15.
L'événement B s'est déjà réalisé avant l'événement A. Il
constitue donc le nouveau ensemble fondamental des résultats
possibles. L'événement de condition correspond à
l'ensemble de référence.
2. Définition
Si A est un événement associé à une expérience aléatoire et B est
un événement de probabilité non nulle associé à la même expérience
aléatoire, alors la probabilité de réalisation de A sachant que
B s'est déjà réalisé s'appelle la probabilité conditionnelle de
A sachant B et se note P(A|B) et est égale à P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Avec P(B) ≠ 0.
3. Exemples
1. Exemple 1
Dans une salle de concert, 20 musiciens
jouent du violon, de la flûte traversière
et de la violoncelle.
Parmi les hommes, il y a :
3 qui jouent du violon,
4 qui jouent de la flûte traversière et
2 qui jouent de la violoncelle.
Parmi les femmes, il y a
6 qui jouent du violon,
3 qui jouent de la flûte traversière , et
2 qui jouent de la violoncelle.
On choisit une personne au hasard, et on
veut savoir la probabilité:
a) qu'elle joue du violon
b) qu'elle joue du violon sachant que c'est une femme.
c) qu'elle joue du violon ou la flûte traversière sachant que c'est
un homme.
d) que ce soit une femme, si on sait qu'elle joue de la flûte traversière.
On note ces événements ainsi:
A: "la personne joue du violon"
B: "la personne joue la flûte traversière"
C: "la personne joue de la violoncelle"
F: "la personne est une femme"
H: "la personne est un homme"
a) La probabilité que la personne choisie joue du violon
est P(A) = (3 + 6)/20 = 9/20
b) La probabilité qu'elle joue du violon
sachant que c'est une fille est P(A|F) = P(A∩F)/P(F) =
(6/20)/(11/20) = 6/11
c) La probabilité qu'elle joue du violon ou la flûte traversière
sachant que c'est un homme est égale à
La probabilité qu'elle joue du violon sachant que
c'est un homme ou de la flûte traversière que c'est un homme
et est égale à P(A|H) + P(B|H) .
Les événements A et B sont incompatibles.
= (3/20)/(9/20) + (4/20)/(9/20) = 7/9
d)
La probabilité qu'elle soit une femme, si on
sait qu'elle joue de la violoncelle est
P(F|C) = P(F∩C)/P(C)
(2/20)/(4/20) = 2/4.
2. Exemple 2
On distribue des cadeaux sous forme d'un
paquet de trois livres de Mathématiques et
de Physique. Dans un paquet il y a au moins
un livre de Physique.
Je reçois un cadeau. Quelle est la probabilité
d'avoir deux livres de Mathématiques?
On dénote par
"M" 1 livre de Mathématiques, et par
"P" 1 livre de Physique
Soient les événements:
Événement A: recevoir un cadeau:
A ={(M, M, M); ( M, M, P ); (M, P, M ); (M, P, P); (P, M , M );
(P, M , P); (P, P, M); (P, P, P); }
card(A) = 8
Événement B: avoir au moins un de Physique:
De A il faut exclure (M, M, M) pour obtenir
B = {(M, M, P ); (M, P, M ); (M, P, P); (P, M , M );
(P, M , P); (P, P, M); (P, P, P); }
card(B) = 7
Événement C: avoir deux livres de Mathématiques:
a) Sans tenir compte de l'événement B:
De A il faut exclure (M, P, P); (P, M , P); (P, P, M);
(P, P, P) pour obtenir
C1 = {(M, M, M); (M, M, P ); (M, P, M ); (P, M , M )}
card(C1) = 4
b) En tenant compte de l'événement B:
De C1 il faut exclure ( M, M, M) pour obtenir
C2 = {(M, M, P ); (M, P, M ); (P, M , M )}
card(C2) = 3
Ce qui revient à exclure de B les éléments
(M, P, P); (P, M , P); (P, P, M); (P, P, P); pour
obtenir
C2 = {(M, M, P ); (M, P, M ); (P, M , M )}
card(C2) = 3
La probabilité de trouver dans le cadeau deux livres
de Mathématiques sachant qu' il y a au moins
un livre de Physique est donnée par l'événement C en
tenant compte de l'événement B. C'est à dire
card(C2)/card(B) = 3/7.
Ici l'ensemble B devient le nouveau ensemble
de référence. Ainsi la probabilité de l'événement
C sachant B se calcule dans B: Avoir
deux livres de Mathématiques avec un de Physique.
Ce qui correspond à l'intersection de B avec
C B∩C dans le référentiel B. Il faut remarquer
que C2 = C∩B.
La probabilié cherchée est donc égale à
card(C∩B)/card(B).
Divisons par car(A) le mumérateur et le dénominateur
de la fraction, pour se ramener au référentiel
de départ, on obtient:
Cette probabilité P(C∩B)/P(B) est notée P(C|B)
et est appelée probabilité conditionnelle de
C sachant B .
4. Exercice
Dans une classe formée de 54% de filles, tous les élèves
pratiquent un sport parmi le yoga ou l'escrime. On sait que
32% des filles pratiquent le yoga, alors que 59% des garçons pratiquent l'escrime.
On choisit une personne au hasard dans cette classe:
Quelle
est la probabilité q'elle paratique le yoga?
Quelle
est la probabilité q'elle paratique l'escrime?
