C'est le nombre d'arragements avec répétition de
p objets parmi n objets.
Le nombre d'arragements avec répétition d'une paire de
couleurs à partir de trois est A(2,3) = 32 = 9.
2. Avec ordre et sans remise
C'est le nombre d'arragements sans répétition de
p objets parmi n objets.
Lorsqu'on arrange n objets parmi n objets,
nous avons A(p,n)= n!/(n-p)!= n!
C'est le nombre de permutations de n objets distincts .
Lorsque les objets ne sont pas tous distincts et
se groupent en r1 objets d'une sorte, r2
objets d'une autre sorte, ... rk objets d'une autre
sorte; le nombre de permutations est égal à:
p(n) = n!/r1!r2!...rk!
Le nombre de façons d'arranger, sans répétition, une paire de
couleurs à partir de trois est A(2,3) = 3!/(3 - 2)! = 6.
3. Sans ordre et sans remise:
C'est le nombre de combinaisons sans répétition de
p objets parmi n objets.
Le nombre de façons de combiner, sans répétition , une paire de
couleurs à partir de trois est C(2,3) = 3!/2!(3 - 2)! = 3.
4. Sans ordre et avec remise:
C'est le nombre de combinaisons avec répétition de
p objets parmi n objets.
Le nombre de façons de combiner, avec répétition , une paire de
couleurs à partir de trois est D(2,3) = (3+2-1)!/2!(3 - 1)! = 6.
II. Exercices
Exercice 1
Question:
Combien de nombres à deux chiffres peut-on former
avec les chiffres 1, 3 et 5 ?
Reformuler la question:
Combien de résultas différents obtient-on en
tirant au sort deux billes d’une boite qui en
contient trois, une verte, une rouge et une
blue, avec ordre et avec remise.
Réponse:
C'est le nombre d'arrangements
avec répétition de 2 parmi 3 =
A(2,3) = 32 = 9 nombres :
qui sont:
11, 13, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55.
Il y a 9 façons différentes de former
un nombre de deux chiffres à partir de
trois chiffres.
Exercice 2
Question:
De combien de façons différentes peut-on placer,
sans distinction, 3 personnes sur 5 chaises ?
Autrement dit:
De combien de façons peut-on cocher 3 cases
sur un ensemble de 5 cases ?
Première étape: on coche une case parmi les 5.
Deuxième étape: on coche une case parmi les 4 qui
restent, puisq'on on ne peut pas cocher une case une
deuxième fois. Et ainsi de suite jusqu'à la dernière.
L'expérience est donc sans répétition.
On ne fait aucune distinction pour placer
les personnes; anisi l'ordre n'est pas
important.
Reformuler la question:
Combien de résultas différents obtient-on en
tirant au sort trois billes d’une boite qui en
contient cinq de couleur différentes sans remise
et sans ordre.
Réponse:
C'est le nombre de combinaisons
de 3 parmi 5 =
C(3,5) = 5!/3!(5 - 3)! = 5!/3!2! = 4 x 5 /2 = 10.
Il y a 10 façons différentes d'occuper 3
places parmi 5 disponibles.
Exercice 3
Question:
Combien de selections différentes doit-on remplir
pour gagner à coup sûr le gros lot du loto 6/49?
Autrement dit:
De combien de façons différentes peut-on cocher 6 cases
sur un ensemble de 49 cases ?
Bien entendu, cocher des cases est une expérience
sans remise.
L'ordre des nombres dans une selection du loto 6/49
n'a pas d'importance.
Reformuler la question:
Combien de résultas différents obtient-on en
tirant au sort 6 billes d’une boite qui en
contient 49 de couleur différentes sans remise
et sans ordre.
Réponse:
C'est le nombre de combinaisons
de 6 parmi 49 =
C(3,5) = 49!/6!(49 - 6)! = 13 983 816.
Il y a peu près 14 millions de selections
à remplir pour gagner à coup sûr le gros lot
du loto 6/49.
Exercice 4
Question:
Combien de mots de cinq lettres distinctes
peut-on former avec les huit lettres du mot
"question"?
Le mot "question" comprend 8 lettres.
Ici, on veut former des mots avec des lettres distinctes. Il
s'agit donc d'une expérience sans répétition.
L'ordre des lettres dans un mot est important: le
mot "cas" est différent du mot "sac".
Reformuler la question:
Combien de résultas différents obtient-on en
tirant au sort 5 billes d’une boite qui en
contient 8 de couleur différentes sans remise
et avec ordre.
Réponse:
C'est le nombre d'arragements sans répétition
de 5 parmi 8 =
A(5,8) = 8!/(8 - 5)! = 8!/3! = 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 6720
Il y a 6720 mots, de lettres distinctes,
qu'on peut former avec les 8 lettres :
q, u, e, s, t, i, o, et n.
.
Exercice 5
Question:
De combien de manières différentes peut-on
former une hiérarchie de 4 personnes dans
équipe de 10 personnes?
Le choix d'une personne élimine la répétition.
La hiérarchie impose l'ordre.
D'une façon équivalente:
Combien peut-on former de nombres de
deux chiffres distincts à partir de
3 chiffres?
Le mot "distincts" élimine la répétition.
L'ordre est important. Les nombres sont ordonnés
de toutes façons: (34 ≠ 43).
Il s'agit donc d'une expérience sans répétition
avec ordre.
Reformuler la question:
Combien de résultas différents obtient-on en
tirant au sort 4 billes d’une boite qui en
contient 10 numérotées 1 à 10; sans remise
et avec ordre.
Réponse:
C'est le nombre d'arragements sans répétition
de 4 objets parmi 10 objets =
A(4,10) = 10!/(10 - 4)! = 10!/!6 =
7 x 8 x 9 x 10 = 5040.
Il y a 5040 manières différentes de former un hiérarchie
de 4 personnes dans un groupe qui en contient 10
.
Exercice 6
Question:
Combien de nombres compris entre 300 et 600
peut-on former avec les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
si chaque chiffre ne peut être utilisé plus d'une fois?
D'une façon équivalente:
Combien peut-on former de nombres de
trois chiffres distincts dont le chiffre
des centaines est 3 ou 4 ou 5; à partir des
chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?
Le mot "distincts" élimine la répétition.
L'ordre est important. Les nombres sont ordonnés
de toutes façons: (341 ≠ 143).
Il s'agit donc d'une expérience sans répétition
avec ordre. Mais il y a une contrainte:
le chiffre des centaines est 3 ou 4 ou 5
Reformuler la question:
Combien de résultas différents obtient-on en
tirant au sort 3 billes d’une boite qui en
contient 8 numérotés 0 à 7; sans remise
et avec ordre; dont le premier tirage donne
la bille #3 ou #4 ou #5?
Réponse:
Pour former un tel nombre, on effectue deux opérations:
- La première est de choisir le premier chiffre
qui doit commencer par 3 ou 4 ou 5.
Il y a 3 possibilités.
- À cette opération, s'ajoute la deuxième
qui consiste à arranger deux autres chiffres
parmi les 7 qui restent . Il y a A(2,7).
En tout, il y a 3 x A(2,7) = 3 x 7!/(7 - 2)! =
3 x 7!/5! = 3 x (6 x 7) = 126
Il y a 126 manières différentes de former un nombre
de 3 chiffres distincts compris entre 300 et 600.
Exercice 7
Question:
De combien de manières différentes peut-on
placer 20 élèves dans 3 classes différentes
de 8, 7, et 5 places numérotées chacune?
Le mot "différentes" élimine la répétition.
Le mot numérotées impose l'ordre.
Il s'agit donc d'une expérience sans répétition
avec ordre.
Reformuler la question:
Combien de résultas différents obtient-on en
tirant au sort 20 billes d’une boite qui en
contient 8 rouges, 7 blues, et 5 vertes ; sans remise
et avec ordre?
Réponse:
P(20) = 20!/(8!7!5!) = 99768240.
Il y a 99768240 manières différentes de placer
20 élèves dans 3 classes différentes
de 8, 7, et 5 places numérotées chacune.
Exercice 8
Question:
Combien de mots peut-on former en prenant toutes
les lettres du mot "exercice"?
Ce mot contient 8 lettres pas toutes distincts.
Il y a trois lettres "e" identiques et deux lettres
"c" identiques.
L'ecriture d'un mot necessite un ordre et une lettre
choisie n'est pas réutilisée.
Il s'agit donc d'une expérience sans répétition
avec ordre.
Comme on utise toutes les lettres, il s'agit donc
d'une permutation
Reformuler la question:
Combien de résultas différents obtient-on en
tirant au sort 8 billes d’une boite qui en
contient 3 rouges, 2 blues, une jaune, une blanche,
et une noire ; sans remise et avec ordre?
Réponse:
P(6) = 6!/3!2!1!1!1!= 60
Il y a 60 manières différentes de former des
mots en prenant toutes les lettres du mot "exercice".
Exercice 9
Question:
Combien de mots peut-on former en prenant toutes
les lettres du mot "scientifiques" et en regroupant toutes
les consonnes ?
Ce mot contient 13 lettres pas toutes distincts.
Il y a trois lettres "i" identiques, deux lettres
"e" identiques, et deux lettres "s" identiques.
Les six lettres qui restent sont: c, n, t, f, q, et u.
Ce mot contient 6 voyelles et 7 consonnes.
Reformuler la question:
Combien de résultas différents obtient-on en
tirant au sort 13 billes d’une boite qui en
contient 3 rouges, 2 blues, 2 vertes, une blanche, et 5
autres de couleurs différentes; en regroupant
les billes rouges, bleues, vertes et la blanche;
sans remise et avec ordre?
Réponse:
On regroupe les consonnes toutes seules dans un groupe "C" et
les voyelles toutes seules dans un autre groupe "V".
C = {s, s; c, n, t, f, q} V = {i,i,i; e,e; u}
On décompose donc la formation du mot suivant deux étapes:
a) Permuter les 6 voyelles et le groupe des consonnes,
c'est à dire permuter les éléments {i,i,i; e,e; u; C}
b) Permuter les consonnes {s, s; c, n, t, f, q}
c) Multiplier les deux permutations.
a) P(voyelles et C) = (6 + 1)!/3!2!1!1! = 420
b) P(consonnes) = 7!/2!1!1!1!1!1! = 2520
c) Selon le principe de multiplication, on a
P(13) = P(voyelles et C) x P(consonnes) =
420 x 2520 = 1 058 400
Il y a 1 058 400 manières différentes de former des
mots en isolant les consonnes et en utilsant toutes
les lettres du mot "scientifiques".
Exercice 10
Question:
Combien de mains différentes de 5 cartes peut-on obtenir
en choisissant cinq cartes d'un jeu de 52 cartes ?
Combien de ces mains contiennent un roi de coeur?
Lorsqu'on constiue une main de 5 cartes, on prend une,
puis une deuxième, puis une troisième, puis une quatrième,
et ensuite une cinquième. On ne remet pas la carte
la carte distribuée. L'ordre n'est pas important.
L'expérience est sans ordre et sans remise. Le nombre
de possibilités de former une main est égale à C(5,52).
Maintenant, parmi ces C(5,52), combien y a-t-il de
possibilités d'avoir un roi de coeur dans une main?
Reformuler la question:
Parmi les C(2,5) = 10 possibilités de former
une paire de billes différentes, tirée au sort
sans remise et sans ordre d’une boite
qui en contient 5: 1 verte, 1 rouge, 1 bleue,
1 noire, et 1 blanche; combien y a-t-il de
possibilités d'avoir une verte?
Réponse:
La formation d'une telle main se faiten deux étapes:
a) Réserver une carte roi de coeur
b) Combiner 4 parmi les 51 cartes
On obtient C(4,51) = 249 900
Il y a 249 900 mains différentes qui peuvent être
formées en choisissant cinq cartes d'un jeu de 52 cartes.
Exercice 11
Question:
On veut faire un cadeaux avec 5 livres. On
dispose de 15 livres, 8 de Mathématiques et 7
de Physique.
a) Combien y a-t-il de façons de grouper 5 livres
dans le cadeau?
b) Combien y a-t-il de façons de grouper 5 livres
dans le cadeau si l'on éxige que 4 livres
de Mathématiques soient dans ce cadeau?
c) Combien y a-t-il de façons de grouper 5 livres
dans le cadeau si l'on éxige qu'au moins 4 livres
de Mathématiques soinet dans ce cadeau?
Réponse:
a)
On prend un livre pour qu'il soit mis dans le cadeau.
on le remet évidemment pas. Il n'y a donc pas de remise.
L'ordre n'a pas d'importance. L'expérience est
donc sans ordre et sans remise.
b)
Il y a C(5,8) = 56 possibilités de choisir 5 livres de
Mathématiques parmi les 8 disponibles.
Pour chacune de ces possibilités, il y a C(5,7) = 21
possibilités de choisir 5 livres de
Physique parmi les 7 disponibles.
En tout, nous avons C(5,8) x C(5,7) = 1176
possiblités d'assembler 5 livres dans le cadeau.
Il y a 1176 manières différentes d'assembler
5 livres parmi les 15 pour former un cadeau.
b)
4 livres de Mathématiques sont éxigés. Nnous avons
donc C(4,8) possiblités de les assembler.
Pour les livres de Physique, il ne reste, par
conséquent, qu'un seul livre à considérer pour
avoir 5. Il y C(1,7) possiblités de le
faire.
Entout, on a C(4,8) x C(1,7) = 490 possibilités.
Il y a 490 manières différentes d'assembler
5 livres parmi les 15 pour former un cadeau
où 4 de Mathéamatiques sont exigés.
c) "Au moins 4" singnifie 4 ou plus.
On aura donc en tout C(4,8) x C(1,7) + C(5,8) x C(0,7) =
490 + 56 = 546
Il y a 546 manières différentes d'assembler
5 livres parmi les 15 pour former un cadeau
qui doit inclure au mois 4 de Mathéamatiques.
