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p objets parmi les n

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probabilité p donnant k
succès en n répétitions

p →
k →
n →

          
          



Résultat:


Mathématiques 45: Probabilités
Exercices des brevets



1. DNB - Métropole - La réunion - Septembre 2009
Exercice2

Énoncé:

Pour un tirage au hasard, on a placé dans une urne 25 boules de même taille, les unes blanches, les autres noires. La probabilité de tirer une boule blanche est 0,32. Quelles sont les boules les plus nombreuses dans l'urne : les blanches ou les noires ? Expliquer.

Réponse:

La probabilité de tirer une boule blanche est 0.32 = .

Il y a donc 8 boules blanches et donc 25 - 8 = 17 boules noires. les boules noires sont les plus nombreuses. v

On peut résoudre l'exercice aussi de la façon suivante:

La probabilité de l'événement "tirer une boule blanche" est 0.32, donc celle de l'événement contraire "tirer une boule noire" est 1 - 0.32 = 0.68. Ainsi, il y a plus de chances de tirer une boule noire qu'une boule blanche: les boules noires sont les plus nombreuses.



2. DNB - Métropole - La Réunion - Mayotte -
Juillet 2009
Exercice 2

Énoncé

Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille dans son sac.

1. Le contenu des sacs est le suivant:

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?

2. On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ?

Réponse:

1. On note R l'événément : "la bille tirée est rouge".

On a : p(R) = .

• Pour Aline : son sac contient 5 billes rouges parmi 5 billes au total, donc p(R) =

• Pour Bertrand : son sac contient 10 billes rouges parmi 40 au total, donc : p(R) =


• Pour Claude : son sac contient 100 billes rouges parmi 103 au total, donc : p(R) = .

On a , donc Aline a la plus grande probabilité de tirer une bille rouge dans son sac.

2. Soit x le nombre de billes noires à ajouter dans le sac d'Aline. On veut que la probabilité de tirer une bille rouge soit égale à celle de Bertrand, c'est-à-dire .
p(R) =

On en déduit:

Donc : x + 5 = 20, soit x = 15

Ainsi, il faut ajouter 15 billes noires dans le sac d'Aline pour qu'elle ait la même probabilité que Bertrand de tirer une bille rouge.



3. DNB - Pondichéry - Avril 2009
Exercice 4

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. Pour chacune des trois questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

Énoncé :

Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2.


Numéro Question Réponse A Réponse B Réponse C
1 Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? 4
2 Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?
3 Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1


Réponse

1. Il y a quatre boules blanches parmi les six au total, donc la probabilité de tirer une boule blanche est .
Réponse A

2. Il y a deux boules portant le numéro 2 parmi les six au total, donc la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 est .
Réponse C

3. Il y a deux boules blanches numérotées 1 parmi les six au total, donc la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 est .
Réponse A



4. DNB - Polynésie Française - Juin 2009
Exercice 2

Énoncé

Le Heiva est une manifestation annuelle traditionnelle qui a lieu au mois de juillet en Polynésie française.

A un stand du "Heiva", on fait tourner la roue de loterie ci-dessous.


On admet que chaque secteur a autant de chance d'être désigné.
On regarde la lettre désignée par la flèche : A, T ou M, et on considère les évènements suivants:

• A : "on gagne un autocollant",
• T : "on gagne un tee-shirt",
• M : "on gagne un tour de manège".

1. Quelle est la probabilité de l'évènement A ?
2. Quelle est la probabilité de l'évènement T ?
3. Quelle est la probabilité de l'évènement M ?
4. Exprimer à l'aide d'une phrase ce qu'est l'évènement non A puis donner sa probabilité.

Réponse

1. La probabilité de l'événement A est p(A)= .
2. La probabilité de l'événement T est p(T)= .
3. La probabilité de l'événement M est p(M)= .
4. L'événement non A est l'événement contraire à l'événement A, on le note (on dit A barre). C'est l'événement qui se réalise quand l'événement A ne se réalise pas. Ici, l'événement non A est "ne pas gagner un autocollant", qui est donc l'événement "gagner un tee-shirt ou un tour de manège".



5. DNB - Antilles Guyane - Juin 2009
Exercice 1

Énoncé Au stand d'une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets.

• 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3.
• 12 permettent de gagner une grosse peluche.
• 36 permettent de gagner une petite peluche.
• 68 permettent de gagner un porte-clés.
• Les autres billets sont des billets perdants.

Quelle est la probabilité pour un participant :

1. de gagner un lecteur MP3 ?
2. de gagner une peluche (grande ou petite) ?
3. de ne rien gagner ?

Réponse

1. La probabilité de gagner un lecteur MP3 est
p(MP3) = .

2. La probabilité de gagner une peluche est
p(peluche)= .

3. La probabilité de ne rien gagner est
p(ne rien gagner) = .



6. DNB - Antilles Guyane - Septembre 2009
Exercice 2

Énoncé

Lors d'un contrôle, une classe de 3ème a obtenu les notes suivantes :

8 - 7 - 8 - 4 - 13 - 13 - 13 - 10 - 4 - 17 - 18 - 4 - 13 - 11 - 9 - 15 - 5 - 7 - 11 - 18 - 6 - 9 - 2 - 19 - 12 - 12 - 6 - 15.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant.

Notes 2 4 ...
Effectifs 1 3 ...


2. Quel est l'effectif total de ce groupe ?
3. Quelle est la moyenne des notes de cette classe ? Arrondir le résultat à 0,1 près.
4. Donner la médiane de ces notes.
5. On choisit au hasard une copie. Quelle est la probabilité pour que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 10 ?

Réponse

1.
Notes 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 17 18 19
Effectifs 1 3 1 2 2 2 2 1 2 2 4 2 1 2 1


2. L'effectif total de ce groupe est 1 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 + 1 = 28.

3. La moyenne des notes de cette classe est:
(2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 15 + 17 + 18 + 19 )/28 = 289/28 = 10.3.

4. La médiane des notes:
1 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 14 = 50% de l'effectif total, qui correspond au 8e rang des caractères; c'est à dire 10.

5. On choisit au hasard une copie. La probabilité pour que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 10 est:
(1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 + 1 )/28 = 15/28 (plus que 50% de chance de tomber sur une telle copie).



7. DNB - Nouvelle Calédonie - Décembre 2009
Exercice 2

Énoncé

La roussette rousse est une espèce de chauve souris, endémique (indigène) au territoire de la Nouvelle-Calédonie. Elle sera la mascotte (symbole) officielle des XIVèmes Jeux du Pacifique de 2011.

Dans une urne, on a dix boules indiscernables au toucher portant les lettres du mot ROUSSETTES.



On tire au hasard une boule dans cette urne et on regarde la lettre inscrite sur la boule.

1. Quels sont les six résultats possibles à l'issue d'un tirage ?

2. Déterminer les probabilités suivantes :
a) la lettre tirée est un R.
b) la lettre tirée est un S.
c) la lettre tirée n'est pas un S.

3. Julie affirme qu'elle a plus de chance d'obtenir une voyelle qu'une consonne à l'issue d'un tirage.
A-t-elle raison ? Justifier votre réponse.

Réponse

1. Les six résultats possibles à l'issue d'un tirage sont:
{R, O, U, S, E, T}.

a) la probabilité de tirer la lettre R est p(R) = .
b) la probabilité de tirer une lettre S est p(S) = .
c) la probabilité de tirer une lettre autre que S est
p() = .

2.
• la probabilité d'obtenir une voyelle est p(V) = .
• la probabilité d'obtenir une consonne est p(C) = .

Comme . On a plus de chance de tomber sur une consonne. Julie n'a pas raison.



8. DNB - Pondichéry - Avril 2010
Exercice 1

Énoncé

Une classe de 3ème est constituée de 25 élèves. Certains sont externes, les autres sont demi-pensionnaires. Le tableau ci-dessous donne la composition de la classe.

  Garçon Fille Total
Externe ... 3 ...
Demi-pensionnaire 9 11 ...
Total ... ... 25


1. Recopier et compléter le tableau.

2. On choisit au hasard un élève de cette classe.
a) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille ?
b) Quelle est la probabilité pour que cet élève soit externe ?
c) Si cet élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit un garçon ?

Réponse

1.
  Garçon Fille Total
Externe 2 3 5
Demi-pensionnaire 9 11 20
Total 11 14 25


2. On choisit au hasard un élève de cette classe.

a) La probabilité pour que cet élève soit une fille est

p(F) = .

b) La probabilité pour que cet élève soit externe est

p(E) = .

c) La probabilité pour que cet élève soit un garçon, sachant qu'il est demi- pensionnaire est

p(G/DP) = .



9. DNB - Polynésie Française - Juin 2010

Exercice 2

Énoncé

Sur le manège "Caroussel", il y a quatre chevaux, deux ânes, un coq, deux lions et une vache.
Sur chaque animal, il y a une place. Vaite s’assoit-au hasard sur le manège.

1. Quelle est la probabilité qu’elle monte sur un cheval ? Exprimer le résultat sous forme d’une fraction irréductible.

2. On considère les évènements suivants :

A : "Vaite monte sur un âne."
C : "Vaite monte sur un coq."
L : "Vaite monte sur un lion."

a. Définir par une phrase l’évènement non L puis calculer sa probabilité.
b. Quelle est la probabilité de l’évènement A ou C.


Exercice 3

Énoncé

Hiti et Kalu sont deux entreprises de cent personnes qui ont fait paraître les informations suivantes :

Salaire moyen en francs Entreprise Hiti Entreprise Kalu
Hommes 168 000 180 000
Femmes 120 000 132 000


Effectif Hommes/ Femmes Entreprise Hiti Entreprise Kalu
Hommes 50 20
Femmes 50 80


Kévin dit à sa sœur: "En moyenne, on est mieux payé chez Kalu." Qu'en pensez-vous ?

L'évaluation de cet exercice tiendra compte des observations et étapes de recherche, même incomplètes ; les faire apparaître sur la copie.

Réponses

Exercice 2

En tout, nous avons 10 animaux.

Vaite s'assoit au hasard sur le manège du caroussel.

1. P(Vaite monte sur un cheval) =

2. a. L'événement L est "Vaite monte sur un lion".
L'événement non L (noté ) est "Vaite ne monte pas sur un lion". C'est l'événement complémentaire (ou contraire) de l'événement L.
La probabilité de cet événement est égal à 1 - P(Vaite monte sur un lion) =

b. Vaite ne peut pas monter à la fois sur deux mêmes animaux en même temps. Ainsi les événements A et C sont incompatibles.

Par conséquent, la probabilité de l'événement A ou C =
P(A ou C) = P(A) + P(C) = P(âne) + P(coq) =

Exercice 3

Il s'agit de calculer les moyennes pondérées des salaires dans chacune des deux entreprises et comparer.

La moyenne des salaires dans l'entreprise Hiti est:

Mh = (50 x 168000 + 50 x 120000)/100 = (168 + 120) x 1000/2 = 288000/2 = 144000 francs.

La moyenne des salaires dans l'entreprise Kalu est:

Mk = (20 x 180000 + 80 x 132000)/100 = (2 x 180 + 8 x 132) x 100 = 141600 francs.

Nous avons: Mk < Mh. Ainsi, on est donc mieux payé dans l'entreprise Hiti. Kévin avait tort.



10. DNB - Liban - Juin 2010
Exercice 2

Énoncé

Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard.

1. Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge.
2. Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune.
3. Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux questions précédentes. Le résultat était-il prévisible ? Pourquoi ?
4. On ajoute dans ce sac des boules bleues. Le sac contient alors 10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et les boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale à , calculer le nombre de boules bleues.

Réponse

1. La probabilité pour que cette boule soit rouge est: p(R) =

2. La probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune est: p(N ou J) =

3. La somme des deux probabilités trouvées est: Le résultat était prévisible puisque p(N ou J) est la probabilité pour que la boule ne soit pas rouge. Tirer une boule noire ou jaune est l'évenement contraire (ou complémentaire) de l'événement "tirer une boule rouge". Ainsi, on aurait ecrit directement p(N ou J) = 1 - p(R) = .

4. On ajoute dans ce sac x boules bleues. Le sac contient alors (20 + x) boules au total.

On tire une boule au hasard. La probabilité de tirer une boule bleue est égale à:

.

Cette équation est équivalente à:

20 + x = 5x. D'où x = 5.

Ainsi, le nombre de boules bleues ajoutées est égal à 5.



11. DNB - Métropole-La Réunion-Mayotte - Juin 2011
Exercice 1

Énoncé

Un dé cubique a 6 faces peintes: une en bleu, une en rouge, une en jaune, une en vert et deux en noir.

1. On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue.

Le schéma ci-dessous donne la répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers.



a) Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur jaune.
b) Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur noire.

2. On suppose que le dé est équilibré.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur jaune?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur noire?

3. Expliquer l'écart entre les fréquences obtenues à la question 1 et les probabilités trouvées à la question 2.

Réponse

a) La fréquence d'apparition de la couleur jaune est ƒ(J) = = 0.20 .
b) La fréquence d'apparition de la couleur noire est ƒ(N) = = 0.30 .

2. On suppose que le dé est équilibré.
a) La probabilité d'obtenir la couleur jaune est p(J) =
b) La probabilité d'obtenir la couleur noire est p(N) =

3. L'écart entre les fréquences obtenues à la question 1 et les probabilités trouvées à la question 2 est due au fait que, pour un nombre de lancers assez grand, la valeur expérimentale de la probabilité frequentielle tend vers la probabilité théorique qui est .

Autrement dit:

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'un événement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre qui est la probabilité de cet événement.

Dans cet exemple, les fréquences obtenues à la question 1 sont proches des probabilités calculées à la question 2 (0,2 pour 0,17 et 0,3 pour 0,33). La différence s'explique par le trop faible nombre de lancers de dés. Si on continue à jeter ce dé un plus grand nombre de fois (1 000 fois ou 10 000 fois ou plus), les fréquences obtenues seront quasiment les mêmes que les probabilités calculées.



12. DNB - Pondichéry - Avril 2011
Exercice 1

Énoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte 1 point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point.

Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.

2. Un sac contient 10 boules blanches et 5 boules noires. On tire une boule au hasard. La probabilité de tirer une boule noire est égale à :

a) , b) , c)

Réponse

2.
a) La probabilité de tirer une boule noire est égale à



13. DNB - Métropole - La Réunion - Mayotte - Juin 2012
Exercice 1

Énoncé

Pour chacune des deux questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est exacte.

Aucune justification n 'est attendue.

1. Alice participe à un jeu télévisé. Elle a devant elle trois portes fermées. Derrière l'une des portes, il y a une voiture ; derrière les autres, il n'y a rien.

Alice doit choisir l'une de ces portes. Si elle choisit la porte derrière laquelle il y a la voiture, elle gagne cette voiture.

Alice choisit au hasard une porte. Quelle est la probabilité qu'elle gagne la voiture ?

a) , b) , c) , d) On ne peut pas savoir

2. S'il y a quatre portes au lieu de trois et toujours une seule voiture à gagner, comment évolue la probabilité qu'a Alice de gagner la voiture ?
a) augmente b) diminue c) reste identique d) On ne peut pas savoir

Réponse

1. b)
2. b) diminue.



14. DNB - Polynésie Française - Juin 2012
Exercice 3

Énoncé

L'hôtel "Ia ora na" accueille 125 touristes :
• 55 néo-calédoniens dont 12 parlent également anglais.
• 45 américains parlant uniquement l'anglais.
• Le reste étant des polynésiens dont 8 parlent également anglais.

Les néo-calédoniens et les polynésiens parlent tous le français.

1. Si je choisis un touriste pris au hasard dans l'hôtel, quelle est la probabilité des événements suivants :

a) Evénement A : "Le touriste est un américain".
b) Evénement B : "Le touriste est un polynésien ne parlant pas anglais".
c) Evénement C : "Le touriste parle anglais"

2. Si j'aborde un touriste dans cet hôtel, ai-je plus de chance de me faire comprendre en parlant en anglais ou en français ? Justifie ta réponse. (Toute trace de recherche, même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation).

Réponse

1. Si je choisis un touriste pris au hasard dans l'hôtel, la probabilité de :

a) L'événement A est:

p(A) = .

b) L'événement B est

p(B) =

c) L'événement C est:

p(C) =


2. La probabilité qu'un touriste parle anglais est: p(C) = . Ainsi la probabilité qu'un touriste parle français est

On a:

Donc, si j'aborde un touriste dans cet hôtel, j'ai plus de chance de me faire comprendre en parlant en anglais qu'en français.



15. Brevet des collèges Métropole septembre 2009
Exercice 2

Énoncé

Pour un tirage au hasard, on a placé dans une urne 25 boules de même taille, les unes blanches, les autres noires. La probabilité de tirer une boule blanche est 0.32. Quelles sont les boules les plus nombreuses dans l’urne : les blanches ou les noires ? Expliquer.

Réponse

Dans l'urne il n'y a 25 boules. Ces boules sont soit blanches soit noires. Ainsi la probabilité p(N) de tirer une boule noire est complémentaire à la probabilité p(B) de tirer une boule blanche. C'est à dire: p(B) + p(N) = 1.

Donc p(N) = 1 - p(B) = 1 - 0.32 = 0.68

Nous avons donc: p(N) = 0.68 > p(B) = 0.32 . Il y a donc plus de noires que de blanches.

Le nombre de boules noires est égal à 0.68 x 25 = 17. Celui des boules blanches est égal à 25 - 17 = 25 x 0.32 = 8.

Dans l'urne, il y a 17 boules noires et 8 boules blanches.








  


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