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p objets parmi les n

p →
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Binomial Law
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probabilité p donnant k
succès en n répétitions

p →
k →
n →

          
          



Résultat:


Mathématiques 2: Lois de probabilité
Loi binomiale



1. Définition

Une expérience aléatoire qui ne peut donner que deux résultats ou deux éventualités est dite une épreuve de Bernoulli.

Une éventualité de succès S avec la probabilité p et une éventualité d'échec S avec la probabilité 1 - p .

La formule qui permet de dénombrer ces éventualités est dite la loi du binome.



2. Exemple

Examinons le pile ou face avec une pièce de monnaie suivant:

Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli puisqu'on a deux éventualités qui sont P : "Pile" et F : "Face".

Notons p(P) = p et p(F) = 1 - p

Pour une pièce équilibrée, on a p(P) = p(F) = 1/2

On répète quatre fois, de façon indépendante, le jet de cette pièce.
Le diagramme d'un arbre pondéré est:



1. La probabilité d'obtenir la suite (P, P, P, P) est p x p x p x p = p4

2. La probabilité d'obtenir la suite (P, P, F, P) est p x p x (1 - p) x p = p3(1 - p)

La probabilité d'obtenir trois fois Pile sur les quatre lancers est la probabilité de l'événement :

{(P, P, P, F) , (P, P, F, P) , (P, F, P, P) , (F, P, P, P)}.

Elle est égale à 4 x p3(1 - p) .

Le nombre 4 correspond au nombre de choix possibles des positions des trois P dans la séquence de quatre ou, ce qui est identique, au nombre de choix de la position du F dans la séquence de quatre; c'est-à-dire au nombre de combinaisons de placer le F dans une séquence de quatre, qui est C(3,4)

Ainsi P(3P,1F) = C(3,4) x p3(1 - p)

3. Il existe C (2,4) = 6 façons d'obtenir une séquence de deux P et de deux faces:

1. [P, P, F, F]: p x p x q x q = p2q2
2. [P, F, P, F]: p x q x p x q = p2q2
3. [F, P, P, F]: q x p x p x q = p2q2
4. [P, F, F, P]: p x q x q x p = p2q2
5. [F, F, P, P]: q x q x p x p = p2q2
6. [F, P, F, P]: p x q x q x p = p2q2

Ainsi

P(2P,2F) = C (2,4) x p2q2

La probabilité d'avoir toutes les séquences, au quatrième jet, est la somme de 5 termes:

P = P(4P,0F) + P(3P,1F) + P(2P,2F) + P(1P,3F) + P(0P,4F) =
= (p + q)n = (p + 1 - pn = 1.



3. Généralisation

Les éventualités au 4e lancer sont en nombre de 16.
L'ensemble de toutes ces éventualités est l'univers des éventualités.

La probabilité d'avoir toutes les éventualités, en ce quatrième jet est égale à 1. On not P(Ω) = 1.

Si on note X le nombre d'une éventualité au 4e lancer. X est une variable aléatoire qui correspond à un sous-ensemble A de Ω.

Ω = {P(4P,0F) + P(3P,1F) + P(2P,2F) + P(1P,3F) + P(0P,4F)}

Par exemple:

Notons X la variable aléatoire égale au nombre de "Face" obtenues sur les quatre lancers.

Ici Ω = {(0F, 4P), (1F, 3P), (2F, 2P), (4F, 0P)} et
X(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4} qui correspond à 4F, 3F, 2F, 1F, ou 0F respectivemenet.

La loi de probabilité de X est alors donnée par :

P(X = x) = C(x,4) . px(1 - p)4 - x


Si on note X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus sur les n répétitions, la loi de probabilité de X est la loi binomiale de paramètres n et p notée B(p, n, X = k), donnée par :

Pour tout k∊N tel que 0 ≤ k ≤ n ,
p(X = k) = B(p,n,k) = C(k,n) pk(1 - p)n - k


Répétition n fois, de manière indépendante, d'une épreuve de Bernoulli. p est la probabilité du succès, k le nombre de succès au nième lancer.



4. Propiétés de la loi binomiale

4.1. Espérance mathématique

E(X) = Σ pi ki (i: 0 → m)
m = #Ωn

Pour une loi binomiale les ki sont des nombres de 0 à m, relativement à un succès: face par exemple, ki se confond avec i: ki = i).


E(X) = Σ ki pi = Σ ki C(i, m) pi(1 - p)m - i = Σ i C(i, m) pi(1 - p)m - i

i C(i, m) = i m!/i!(m - i)! = m!/(i - 1)!(m - i)! =
m (m - 1)!/(i - 1)!(m - i)! = m C(i - 1, m - 1).

Donc

E(X) = Σ m C(i - 1, m - 1) pi(1 - p)m - i = m pΣ C(i - 1, m - 1) pi - 1(1 - p)m - i
(i: 1 → m)

On change de notation en remplaçant i - 1 par j, il vient:

E(X) = m pΣ C(j, m - 1) pj(1 - p)m - j - 1
(j: 0 → m - 1)

E(X) = m p (p + 1 - p)m - 1 (formule du binome de Newton)

Donc

E(X) = mp

p est l'équiprobilité du succès.

m est le nombre de ki qui est le nombre de succès qui figurent dans les wi. M a les valeurs: 0, 1, 2, 3, ... n. Donc m est égal à n pour la loi binomiale.

Pour une loi binomiale: E(X) = n p

p est l'équiprobilité du succès. n est le nombre d'étapes ( de fois) d'une épreuve de Bernoulli.



4.2. Variance de la loi binomiale

Dans la loi binomiale, la variable aléatoire c'est d'avoir un succès.

La variance mathématique d’une loi binomiale se calcule ainsi:

v(X) = Σpi(i - E(X))2
i de 0 à n


Σ C(i, n) pi qn-i (i2 - 2np i + (np)2) =
Σ C(i,n)piqn-i(i2 - 2np Σ C(i, n) piqn-i i +
(np)2) Σ C(i, n) pi qn-i

Nous avons:

Σpi = 1
Σ C(i, n) pi qn-i i = E(X) = np
Σ C(i, n) pi qn-i = (p + q)n = 1
Σ C(i, n) pi qn-i i2 = Σ i . i C(i, n) pi qn-i

= Σ i . i . C(i, n) = i.i. n!/i!(n - i)! pi qn-i
= Σ i . n . (n - 1)!/(i - 1)!(n - i)! pi qn-i
= Σ i . n . C(n - 1,i - 1) pi qn-i .
On pose j = i - 1
= Σ (j + 1).n . C(n - 1,j) pj + 1 qn-1-j
= np Σ(j.C(n-1,j)pj qn-1-j + np Σ C(n-1,j)pjqn-1-j
= np (n - 1)p + np .(p + q)n-1
= np (n - 1)p + np .(1)n-1 = np (n - 1)p + np

Ainsi
v(X) = np (n - 1)p + np - 2 (np)2 + (np)2 =
(np)2 - n p2 + np - 2 (np)2 + (np)2
= - n p2 + np = np(1 - p)= npq

v(X) = npq

la variance mathématique d’une loi binomiale est égale à npq.



4.3. Écart type de la loi binomiale

La dispersion des valeurs xi autour de l'espérance E(X) est mesurée par un nombre appelé écart type défini par :

σ = √(npq)

L'écart type d’une loi binomiale est égale à √(npq).








  


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