Mathématiques 2: Probabilités, analyse combinatoire
& variables aléatoires

1. Exemple

1.1. Exemple 1

On lance une pièce de monnaie et on note la face obtenue: Pile (P) of Face (F).

1. 1er lancer:

Ω = {P, F} est l’ensemble des éventualités liées à cette expérience aléatoire.

P(P) = 1/2, et P(F) = 1/2.

On note A = {P} et B = {F} deux sous-ensembles de Ω

P(P ou F) = P(P) + P(F) = 1/2 + 1/2 = 1
= P(a ∪ B) = P(Ω)

Nous avons donc:

P(Ω) = 1
P(A) = 1/2
P(B) = 1/2

Dans ce premier lancer, on obtient soit un pile; soit un face, en nombre de un chaque.

On associe à chaque élément de Ω un certain nombre réel par une application bien définie.

Par exemple, l'application: nombre de faces obtenues.

Le résultat de cette application donne deux résultats: 0 ou 1.

À ces nombres, on associe des probabilités:
P(0) = 1/2 et P(1) = 1/2.

2. 2e lancer:

Ω = {(P, P), (P, F), (F, P), (F, F)} est l’ensemble des éventualités liées à cette expérience aléatoire de lancer deux fois une pièce de monnaie.

Ω s'ecrit:
Ω = {(P, P), 2(P, F), (F, F)}

Pour tout couple (x, y), x est le résultat du 1er lancer et y celui du 2e lancer.

La probabilité associé à cette expérience est toujours une fonction p: Ω vers [0, 1].

P((P, P)) = (1/2)² = 1/4,
P((P, F)) = 1/4, et P((P, F)) = 1/4.

Dans l'ensemble du 1er et du 2e lancers, on obtient soit deux piles; soit un face et un pile; soit deux faces.

On associe à chaque élément de Ω un certain nombre réel par une application bien définie.

Par exemple, l'application: nombre de faces obtenues.

Le résultat de cette application donne trois résultats: 0 ou 1 ou 2.

À ces nombres, on associe des probabilités:
P(0) = 1/4 et P(1) = 1/2 et P(2) = 1/4.

À chaque étape de lancer, on a: Σp(Ω) = 1 .

1.2. Exemple 2

On lance un dé tétraédrique deux fois de suite.

Ω l’ensemble des éventualités liées à cette expérience aléatoire de deux lancers de dé contient 16 éventualités.

#Ω = 4² = 16.

Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}.

Ω = {(x, y) / x est le résultat du 1er lancer et y celui du 2e lancer}.

L’équiprobabilité p s'ecrit:

∀(x, y)∊Ω p((x,y))= 1/16.

Si on ne s'interesse pas à l'ordre, &mega; contiendra 10 éléments et peut s'ecrire:

Ω = {(1, 1), 2(1, 2), 2(1, 3), 2(1, 4), (2, 2), 2(2, 3), 2(2, 4), (3, 3), 2(3, 4), (4, 4)}.

On associe à chaque élément de Ω un certain nombre réel par une application bien définie.

Par exemple, l'application: somme des deux nombres obtenus de Ω → R.

Le résultat de cette application donne 6 résultats: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

À ces nombres, on associe des probabilités:
P(2) = 1/16,
P(3) = 2 x 1/16 = 1/8,
P(4) = 2 x 1/16 + 1/16 = 3/16,
P(5) = 2 x 1/16 + 2 x 1/16 = 1/4,
P(6) = 2 x 1/16 + 1/16 = 3/16,
P(7) = 2 x 1/16 = 1/8,
P(7) = 1/16.

On vérifie que Σpi = 1.

L'application: somme des deux nombres obtenus est dite une variable aléatoire.

Une variable aléatoire est une fonction qui associe des nombres à des éventualités pour chercher plutôt les probabilités des nombres aux lieu des éventualités afin de représenter le polygone de probabilité de la variable aléatoire.

2. Définitions

Ω est l’ensemble des éventualités liées à une étape d'u une expérience aléatoire.

p est la probabilité associée à cette expérience. C'est une fonction de Ω vers [0, 1].

p: Ω → [0,1]

À la me étape d'une expérience aléatoire, nous avons:

Ω_m = {(x1, x2, x3, ..., xm)/ xi est le résultat de la ième étape}.

#Ω_m = (x1)^m.

l'équiprobabilité s'crit:

∀(x1, x2, x3, ..., xm)∊Ω_m
p((x1, x2, x3, ..., xm)) = (1/#ω)¹

Toutes les #Ω_m = (x1)^m éventualités sont équiprobables.

À chaque élement de Ω_m, on lui associe un certain nombre réel par une application appelée variable aléatoire et notée X, Y, Z, ….

X: Ω → ℝ

Si on note wi un élément de Ω_m (x1, x2, x3, ..., xm), qui un un n-tuplet, on peut ecrire:

X(wi) = ki
X: Ω_m → ℝ

wi sont en nombre de #Ω_m. wi est une éventualité et ki est un réel.

À chaque ki, on lui associe une probabilité.

La probabilité pour qu'une fonction aléatoire X prenne la valeur ki est notée: pi = p(ki) = p(X(wi = ki)) = p(X = ki)

Les valeurs des pi pour toutes les valeurs de ki définissent la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

En représentant les points de coordonnées (ki, pi) dans un repère orthogonal et en reliant ces points par des segments, on obtient le polygone de probabilité de X .

3. Espérance mathématique

3.1. Définition

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X notée E(X) est défini par :

E(X) = Σki x pi

ki est la valeur de l'éventualité wi de probabiilité pi. i varie de 1 jusqu'à #Ω.

Si X défini un jeu et :
E(X) > 0, le jeu est favorable au joueur.
E(X) < 0, le jeu est défavorable au joueur.
E(X) = 0, le jeu est équilibré.

3.2. L'exemple du pile ou face

On reprend le jeu du pile ou face.

Au deuxième lancer, on obtient l'ensemble des éventualités Ω₂ = {(P, P), (P, F), (F, P), (F, F)}.

Nous avons :

Ω₁ = {P, F}, #Ω₁ = 1

L'équiprobabilité = 1/2, qui est l'inverse du cardinal de Ω₁ = 1/Ω₁

#Ω₂ = 4
w1 = (P, P); w2 = (P, F); w3 = (F, P); w4 = (F, F);

Si on défini la variable aléatoire X par avoir une face, alors:

X(w1) = k1 = 0,
X(w2) = k2 = 1, X(w3) = k3 = 1,
X(w1) = k4 = 2

L'ordre n'est pas considéré, donc la variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2. L'ensemble des ki est donc rédui à {0, 1, 2}

Les probabilités correspondantes sont:

p(X = 0) = 1/4,
p(X = 1) = 2 x 1/4 = 1/2,
p(X = 2) = 1/4,

L'espérance mathématique est:

E(X) = 0 x 1/4 + 1 x 1/2 + 2 x 1/4 = 1

Cela qui signifie que si on répétait l’expérience une infinité de fois on obtiendrait en moyenne 1 pour les ki, c'est à dire un pile et une face.

3.3. L'exemple du dé à 6 faces

Un dé à 6 faces est jeté deux fois de suite:

#Ω₂ = 6² = 36
#Ω₂

On s’intéresser à la somme des deux éventualités

{ki} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

On peut aussi l'ecrire:

X:Ω → {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
avec ∀ (x1,x2)∊Ω₂ X(x1,x2) = x1 + x2

Avec l'équiprobabilité :
Ω∀ (x1,x2)∊Ω₂ p((x1, x2)) = 1/36.

Nous avons:

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

Donc

E(X) = (1/36) x 2 + (2/36) x 3 + (3/36) x 4 + (4/36) x 5 + ... + (1/36) x 12 = 7
C'est à dire, si on répétait l’expérience une infinité de fois on obtiendrait en moyenne une somme de 7.

4. Variance et écart type d'une variable aléatoire

4.1. Définition

On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre v(X) défini par :

v(X) = Σ pi(ki - E(X))²

v(X) est la moyenne pondérée des carrés des écarts des ki par rapport à E(X).

La dispersion des valeurs ki autour de E(X) est mesurée par un nombre appelé écart type, défini par

σ(X) = [v(X)]^1/2

4.2. Exemples

1. Pour l'exemple du pile ou face, au deuxième lancer, on a:

E(X) = 1.

v(X) = (1/4) (0 - 1)² + (1/2) (1 - 1)² + (1/4) (2 - 1)² = 1/2

σ(X) = √2/2.

2. Pour l'exemple du dé à six faces où l'on sInteresse à la somme des chiffres obtenus au deuxième lancer, on a :

E(X) = 7

Donc

v(X) = (1/36) (2 - 7)² + (1/36) (3 - 7)² + ... + (1/36) (12 - 7)² = 35/6.

σ(X) ≈ 2.42.