Mathématiques 2: Probabilités

1. Définitions

1.1 Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon certaine.

Lancer un dé et noter le résultat obtenu est une expérience aléatoire.

Pour des expériences aléatoires, on peut prévoir l’ensemble des résultats possibles.

Lancer un dé comporte 6 résultats possibles, qu'on noter dans un exemple {1,2,3,4,5,6}. L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire est appélé référentiel.

1.2. Événement

Un événement ou éventualité est un fait qui se produit dans un lieu et un temps détérminés.

Je tire une carte d'un jeu de 52 cartes. Tirer une carte est un événement.

Un événement qui se réalise toujours est un événement certain. Un événement qui ne se réalise jamais est un événement impossible.

1.3. Événement élémentaire

Lorsqu'un événement ne fait intervenir qu’un seul résultat d’épreuve, cet évenement est un événement élémentaire.

En lançant une pièce de monnaie, nous distinguons deux événements élémentaires : obtenir pile et obtenir face.

Deux événements élémentaires quelconques différents sont incompatibles. Un événement quelconque est une union d’événements élémentaires.

1.4. Probabilité

La probabilité théorique d'un événement est le nombre qui quantifie la possibilité que cet événement a de se produire. Ce nombre est toujours compris entre 0 et 1.

Probabilité théorique = (nombre de résultas favorables)/( nombre de résultas possibles).

Je lance un dé de 6 faces et je souhaite avoir un 6. Lancer le dé et obtenir une face 6 est un événement élémentaire.

Le nombre de résultas favorables est 1, et le nombre de résultas possibles est 6; donc la probabilité théorique d'obtenir un 6 est 1/6.

1.5. Probabilité d'un événement composé
de plusieurs évenements élémentaires

Dans un sac il y a 9 billes au total. 4 billes jaunes, 3 billes blues, et 2 billes rouges.

Je considère l'événement suivant:

Tirer un bille jaune OU une bille rouge.

Cet évenement est composé de deux événements élémentaires:

1. Tirer une bille jaune,
2. Tirer une bille rouge.

La probabilité de cet événement composé de deux événements élémentaires est égal à la somme des probabilités de chacun de ces évenements élémentaires.

La probabilité de l'événement élémentaire "tirer une bille jaune" est égale à 4/9.

La probabilité de l'événement élémentaire "tirer une bille rouge" est égale à 2/9.

La probabilité de l'événement composé "tirer une bille jaune ou une bille rouge" est égale à 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3.

Plus lisiblement,

P(jaune ou rouge) = P(jaune) + P(rouge)

= 4/9 + 2/9 = 2/3.

1.6. Probabilité d'un événement élémentaire
d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes

Avec le sac de l'example plus haut, qui comporte 9 billes au total, dont 4 jaunes, 3 blues, et 2 rouges, on considère l'expérience aléatoire suivante:

On tire une première bille du sac, on marque sa couleur, et on la remet dans le sac; puis on tire une deuxième bille et on marque sa couleur.

on considère l'évenement élémentaire suivant:

Tirer une bille jaune suivie d'une bille rouge.

Cet événement est élémentaire et l'expérience aléatoire est à plusieurs étapes, à deux étapes.

La probabilité d'un évenement élémentaire d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes est égale au produit des probabilités des événements de chacune des étapes qui forment l'événement considéré.

On ecrit:

P(jaune suivie de rouge) = P(jaune) x P(rouge)

= (4/9) x (2/9) = 8/81.

Dans un énoncé de probabilité, l'expérience aléatoire à plusieurs étapes, se traduit par le mot SUIVIE DE .

Dans un cas général d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes, on ecrit la probabilité de l'événement A suivie de l'événement B:

P(A suivie de B) = P(A) x P(B, étant donné que A s'est déjà produit)

2. Exemples

2.1. Exemple 1

On met dans une boîte 5 billes numérotées repectivement 1, 2, 3, 4 et 5. On tire une bille et on note son numéro.

- La probabilté d'avoir un 4 est P(4) = 1/5.
- La probabilté d'avoir un 1 est P(1) = 1/5.
- La probabilté d'avoir un 4 ou un 1 est
égale à P(4ou1) = P(4) + P(1) = 1/5 + 1/5 = 2/5.

2.2. Exemple 2

L’alphabet français comporte 26 lettres dont 6 voyelles a, e, i, o, u, y et 20 consonnes b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, z

On inscrit ces lettres dans des cartes et on tire au hasard une carte.

- La probabilté d'avoir une voyelle est P(6) = 6/26 = 3/13.
- La probabilté d'avoir une consonne est P(20) = 20/26 = 10/13.
- La probabilté d'avoir la lettre "j" est P(j) = 1/26 .
- La probabilté d'avoir la lettre "x" ou la lettre "y" est P(x ou y) = 1/26 + 1/26 = 2/26 = 1/13
- La probabilté d'obtenir l'une des lettres du mot "exemple" est P(e ou x ou m ou p ou l) = 5 x 1/26 = 5/26.

3. Exercices

3.1 Exercice 1

On lance un dé équilibré à 4 faces numérotées de 1 à 4; puis une pièce de monnaie équilibrée.

a) Déterminer l'univers des résultats possibles.

b) Déterminer les probabilités suivantes:

1) Avoir une face 3 suivie de face P(3 suivi de face) = P(3,F).

2) Avoir un nombre pair suivie de face P(pair suivi de face)
= P(pair, face)= P(2,F) + P(4,F).

3) Avoir un carré parfait suivi de pile = P(carré parfait suivi de pile) = P(carré parfait,P).

3.2 Exercice 2

Sur la carte de menu dans un restaurant, on offre à Jim le choix parmi:

- 3 soupes différentes
- 2 plats principaux
- 3 desserts

Jim va prendre une soupe, un plat principal et un dessert, un de chaque.

Combien de repas differents peut-il commander ?