Mathématiques 2:
Probabilités
Résumé et applications

Une probabilité est un nombre réel, positif et plut petit ou égal à 1, qui quantifie la chance qu'un évenement se produise lors d'une expérience aléatoire.

Exemple:

Dans un sac il y a 9 billes au total. 4 jaunes, 3 blues, et 2 rouges. Si on tire 1 bille au hasard, quelle est la probabilité qu'elle soit jaune?

aléatoire = dont on ne peut pas prévoir le résultat de façon certaine.

1. Probabilité théorique

La probabilité théorique de l'événement A est égale à
P(A) = (nombre de résultas favorables à A)/( nombre de résultas possibles)

On lance un dé cubique. La probabilité d'avoir un "quatre" est égale à 1/6.

2. Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de A sachant B est égale à:

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Avec P(B) ≠ 0.

Quelle est la probabilité de tirer un "roi" d'un jeu de 52 cartes, sachant que la carte est une figure rouge?

2. Probabilité géométrique

La probabilité géométrique est le rapport de la mesure des figures géométriques favorables à l'expérience aléatoire et de celle des figures géométriques possibles.

P(A dans B) = mes (A)/(mes (B)

Quelle est la probabilité que la flèche tombe sur le cercle bleue?

2. Probabilité fréquentielle

La probabilité fréquentielle est le rapport des effectifs favorables à l'expérience aléatoire et de ceux des effectifs possibles.

P(A) = effectis(A)/(total des effectifs)

C'est aussi

(nombre de fois que le résultat attendu s’est réalisé)/( nombre de fois que l’expérience a été répétée)

Dans une bibliothèque, nous avons 9 livres jaunes, 10 rouges et 6 blancs. Quelle est la probabilité de tirer un livre rouge?

Exercice 1

Question:

Sur une urne, il y a 4 billes toutes de la même taille. Un bille en cuivre jaune, une bille en cuivre rouge, une bille en argent jaune et une bille en bronze rouge.

On pige une bille au hasard dans cette urne.

a) Quelle est la probabilité de l'évenement "avoir une bille jaune"?
b) Quelle est la probabilité de l'évenement "avoir une bille rouge"?
c) Quelle est la probabilité de l'évenement "avoir une bille en cuivre"?
d) On désigne par:
A l'évenement "avoir une bille jaune",
B l'évenement "avoir une bille rouge", et
C l'évenement "avoir une bille en cuivre"

Ces évenements sont-ils indépendants?

Réponse:

Il s'agit d'une probabilité d'événements compatibles ou incompatibles; dépendants ou indépendants .

a) P(A) = 2/4 = 1/2

b) P(B) = 2/4 = 1/2

c) P(C) = 2/4 = 1/2

d) 1. Probabilité d'avoir une bille à la fois jaune et rouge = P(A ∩ B) = 0 puisque le nombre de cas favoravles est égal à zéro. C'est même impossible.

Les événements A et B sont incompatibles.

A ∩ B = Φ ou {}.

Ces événements sont aussi dépendants puisque la réalisation de l'un influe sur celle de l'autre.

On a de même P(A ∩ B) ≠ P(A) x P(B)

2. Probabilité d'avoir une bille rouge en cuivre n'est pas nulle puisque ça correspond à un événement possible. Cette probabilité st égale à
P(B ∩ C) = 1/4.

Les événements B et C sont compatibles.

Ces événements sont aussi indépendants puisque la réalisation de l'un n'influe pas sur celle de l'autre.

3. Probabilité d'avoir une bille jaune en cuivre n'est pas nulle puisque ça correspond à un événement possible. Cette probabilité st égale à
P(A ∩ C) = 1/4.

Les événements A et C sont compatibles.

Ces événements sont aussi indépendants puisque la réalisation de l'un n'influe pas sur celle de l'autre.

4. P(A ∩ B ∩ C) = 0

Les événements A B, et C sont incompatibles et globalement ne sont pas indépendats.

Exercice 2

Question:

On fait tourner trois roulettes identiques une seule fois.
On observe les chiffres obtenus.

a) Quel est le nombre de résultats possibles en tenant compte de l'ordre?

b) Quel est le nombre de résultats possibles sans tenir compte de l'ordre?

c) Quelle est la probabilité d'avoir le "1 1 1" ?

d) Quelle est la probabilité d'avoir le "2 4 6" ?

e) Quelle est la probabilité d'avoir le "1 1 1", ou le "2 2 2" ou le "5 5 5 " ?

Réponse:

Tout se passe comme si on tourne une roulette trois fois de suite.

Tout se passe comme si on lance un dé cubique trois fois de suite.

Tout se passe comme si on fait trois tirages au sort succéssifs avec remise d'une bille d'une urne qui en contient 6.

a) Avec ordre = arrangement avec remise =
n^p = 6³ = 216

b) Sans ordre = combinaisons avec remise =
D(3,6) = (6 + 3 - 1)!/3!(6 - 1)! = 8!/3!5! = 56

c) La probabilité d'avoir le "1 1 1" est
(1/6)³ = 1/216 = 0.5%

d) La probabilité d'avoir le "2 4 6" est
(1/6)³ = 1/216 = 0.5%

e) La probabilité d'avoir le "1 1 1", ou le "2 2 2" ou le "5 5 5 " est
(1/6)³ + (1/6)³ + (1/6)³ = 3/216 = 1.0 %.

Exercice 3

Question:

Un sac contient 5 lettres: A, B, C, D, et E. On tire les lettres au hasard sans remise.

Quel est le nombre de mots différents que l'on peut former si l'on tire:

a)3 lettres?
b)4 lettres?
c)5 lettres?

Réponse:

Différent veut dire avec ordre .

Il s'agit donc d'une expérience aléatoire avec ordre et sans remise

Les nombres checrchés sont des arrangements sans remise A(p,n) = n!/(n - p)! de p (= nombre de lettres du mot à former) parmi 5 dans l'univers considéré Ω = {A, B, C, D, E}.

a) A(3,5) = 5!/ 2!= 3 x 4 x 5 = 60
b) A(4,5) = 5!/1! = 5! = 120
b) A(5,5) = Permutations des 5 lettres = 5! = 120.

Exercice 4

Question:

On tire quatre cartes d'un jeu de 52 cartes sans tenir compte de l'ordre et sans remise.

Quelle est la probabilité de former une main de 4 valets?

Réponse:

Il s'agit donc d'une expérience aléatoire sans ordre et sans remise, et donc d'une combinaison.

On note bien que la probabilité d'avoir quatre valets est la même que la probabilité d'avoir n'importe quel carré.


La probabilité d'avoir un valet
- au premier tirage est (4/52),
- au deuxième tirage (3/51),
- au troisième tirage (2/50), et enfin
- au quatrième tirage (1/49)

Donc en tout, en a (4/52)x(3/51)x(2/50)x(1/49) = 0.0000037

Cette probabilité est celle du valet. C'est aussi celle de tout carré.

Comme il peut s’agir de n’importe quel carré (13 carrés possibles), on aura
P(carré1) + P(carré2) + P(carré2) ... + P(carré13) = = 13 x P(n'importe quel carré).

La probabilité d'avoir un carré "4 dames" est 0.000003694.
La probabilité d'avoir un carré 13 x 0.0000037 = 0.000048.

Le carré est précisé → Po = 0.000003694
Le carré est non précisé → P = 13 Po = 0.000048

D'une autre façon:

Il y a une possibilité sur 13 d'avoir une valeur. Dans cette possibilité, il y en a quatre avec les 4 suites. Donc C(1,13) C(4,4) en tout.

Ainsi

Le nombre de combinaisons possibles d'avoir un carré est C(1,13) C(4,4) = 13

La probabilité d'avoir un carré est égale à
C(1,13) C(1,4) /C(4,52) = 13 x 0.000003694.
C'est à dire 13 fois la probabilité d'un carré spécifié.

On note que: 0.000003694 = 1/C(4.52)

Exercice 5

Question et réponses: Jeu de 52 cartes

1) On tire une carte. Quelle est la probabilité d’obtenir un trèfle ou un roi ?

On a 13 cartes de trèfle en tout aux quelles il faut ajouter les 3 rois qui ne sont pas des trèfles.

La probabilité cherchée est égale à
13/52 + 3/52 = 16 / 52 = 0,3077.



2) On tire une carte. Quelle est la probabilité que ce soit une figure de couleur rouge ?

Il existe 6 figures de couleur rouge, 6 cartes favorables sur 52 possibles. Donc
La probabilité cherchée est égale à 6 / 52 = 0,1154.


3) On tire une carte. Quelle est la probabilité que ce soit une dame de pique si l’on sait qu’il s’agit d’une carte noire ?

Il existe 26 cartes noires et 1 dame de pique. La probabilité conditionnelle (dame de pique|carte noire) est égle à
1/26 = 0,0385.


4) On tire au hasard deux cartes. Quelle est la probabilité que ce soit deux cartes As?

Au premier tirage la probabilité d’avoir un As est 4 / 52.
Au deuxième tirage et sachant qu’un As ait déjà été tiré, il reste 3 As sur 51 cartes.

La probabilité conditionnelle est égale à
(4/52) x (3/51) = 0,00452.


5) On tire au hasard une carte, puis une deuxième sans remettre la première, quelle est la probabilité que la deuxième soit un valet si la première était une dame ?

Le tirage d’une dame modifie la probabilité de tirage d’un valet au deuxième tirage car il reste 51 cartes au lieu de 52 et 4 valet puisqu’aucun n’a été retiré au premier tirage.

La probabilité conditionnelle est donc égale à
4 / 51 = 0,07843.


6) On tire au hasard une carte, puis une deuxième sans remettre la première. Quelle est la probabilité que la deuxième soit un roi si la première l’était aussi ?

Au deuxième tirage, il reste 3 rois dans les 51 cartes. La probabilité conditionnelle est égale à
3 / 51 = 0,0588.


7) On tire au hasard et successivement trois cartes en replaçant les cartes dans le jeu après chaque tirage. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 dames ?

A chaque tirage la probabilité d’obtenir une dame est égale à 4 / 52 = 0,0769.

Comme les évènements sont indépendants c’est-à-dire que la probabilité d' avoir une dame à un tirage donné ne dépend pas des résultats des tirages précédents, la probabilité est égale à
(4/52) x (4/52) x (4/52) = x 4 x 4)/(52 x 52 x 52) = 0,000455.

Exercice 6

Question:

Dans une urne, il y a 17 billes. 5 vertes et 12 rouges. On tire au hasard une après l'autre pour former un groupe de 4 billes.

a) Quelle est la probabilité que les deux premiers tirages donnent deux vertes?

b) Quelle est la probabilité que le groupe de 4 billes soit, dans l'ordre, formé par deux vertes, ensuite une rouge et finalement une autre verte ?

c) Est ce que toutes les fçons de constituer ce groupe ont la probabilité de se réaliser?

Réponse:

a) P(V,V) = (5/17) x (4/16)

b) P(V,V) = (5/17) x (4/16) x (12/15) x (3/14)

c) Toutes les possibilités n'ont pas la même probabilité de se réaliser puise les billes sont différentes en effectis de départ.

Exemple Pour former un groupe de 4 rouges, la probabilité est de (12/17) x (11/16) x (10/15) x (9/14) qui est différente de celle trouvée en c)

Exercice 7

Question:

Dans une roue de fortune de 24 secteurs, les chances de gagner sont équiprobables. On tourne la roue une seule fois.

a) Quelle est la probabilité que ça tombe sur un bonus?

b) Quelle est la probabilité que ça tombe sur un bonus ou un passe?

Si la roue contenait moitié fois moins de secteurs,

c) Quelle est la probabilité que ça tombe sur une bonus ?

d) Quelle est la probabilité que ça tombe sur une relance et un bonus?

Réponse:

a) P(bonus) = 1/24 = 4.17%
b) P(bonus ou passe) = 1/24 + 1/24 = 2/24 = 8.33%

c) P(bonus) = 1/(24/2) = 2/24 = 2 x 1/24 = 8.33%
Mois il ya de secteurs, plus les chances de gagner sont grandes.

d) P(relance ou bonus) = 1/12 + 1/12 = 2/12 = 16.7%

Exercice 8

Question:

Quelle est la probabilité de tirer un "roi" d'un jeu de 52 cartes, sachant que la carte est une figure rouge?

Réponse:

Il s'agit d'une probabilité conditionnelle.

Soit A l'événement "la carte tirée est un roi",
B l'événement "la carte tirée est une figure rouge".

la probabilité P(A) de tirer un "roi" d'un jeu de 52 cartes est égale à 4/52 = 1/13 .

la probabilité P(B) de tirer une "figure rouge" d'un jeu de 52 cartes est égale à 6/52 .

Si on sait que c'est une figure rouge, la probabilité P(A) devient P(A sachant B) = P(A/B) = 2/6 = 1/3.

la probabilité P(A ∩ B) de tirer une "roi rouge" d'un jeu de 52 cartes est égale à 2/52 .

P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) = (2/52)/(6/52)= 2/6 = 1/3 = 0.33

La probabilité de tirer un "roi" d'un jeu de 52 cartes, sachant que la carte est une figure rouge est de 33.33%.

Exercice 9

Question:

Dans une bibliothèque, nous avons 9 livres jaunes, 10 rouges et 6 blancs.

a) Quelle est la probabilité de tirer un livre rouge?

a) Quelle est la probabilité de tirer d'abord un livre et puis ensuite un jaune?

Réponse:

Il s'agit d'une probabilité fréquentielle.

Soit R l'événement "tirer un livre rouge". Son effectif est de 10.
L'effectif total est 9 + 10 + 6 = 25.

la probabilité P(R) de tirer un "livre rouge" d'une biliothèque de 25 livres est égale à

P(R) = (Effectif de R)/(effectif total) = 10/25 = 2/5 .

la probabilité P(J) de tirer une "deuxième livre", mais jaune cette fois-ci est égale à

P(J) = (Effectif de J)/(effectif total) = 9/24 = 3/8 .

la probabilité P(RJ) de tirer un "rouge", puis ensuite un "jaune" est égale à

P(RJ) = P(R) x P(J) = (2/5) x (3/8)= 3/20 = 15% .

Exercice 10

Question:

Au jeu de poker, quelle est la probabilité d'avoir un carré?

Un carré poker ou "Four of a kind" est une main formée avec 4 cartes de même valeur en plus d' une autre carte.

Réponse:

Il s'agit d'une probabilité combinatoire sans remise et sans ordre. Le carré se compose de toutes les quatres suites pour un certaine valeur. La cinquième est une carte d'une autre valeur.

Il y a une possibilité sur 13 d'avoir une valeur.

Dans cette possibilité, il y en a C(1,4) = 4 avec les 4 suites. Donc C(1,13) C(1,4) en tout.

Pour l'autre carte, c'est à dire la cinquième avec une autre valeur, il y a une possibilité sur 12 avec 4 suites, soit C(1,12) C(1,4).

Ainsi

Le nombre de combinaisons possibles d'avoir un carré est C(1,13) C(1,4) . C(1,12) C(1,4) = 624

La probabilité d'avoir un carré est égale à C(1,13) C(1,4) . C(1,12) C(1,4) /C(5,32) = 0.024 %

Exercice 11

Question:

Nous avons 3 urnes.
La première U1 contient 10 billes dont 10% sont blanches, la deuxième U2 contient 20 billes dont 20% sont blanches, et la troisième U3 contient 30 billes dont 30% sont blanches.

On vide toutes les trois urnes U1, U2, et U3 dans une grande urne U, et on tire au hasard une bille.

Quelle est la probabilité de tomber sur une blanche qui provient de l'urne U2?

Réponse:

Il s'agit d'une probabilité conditionnelle .

On désigne les événements ainsi:

E1: "la bille provient de l'urne U1"
E2: "la bille provient de l'urne U2"
E3: "la bille provient de l'urne U3"
B: "la bille est blanche".

On cherche la probabilité P(U2|B), c'est à dire la brobabilité que la bille provienne de U2 sachant qu'elle est blanche.

La probabilité d'avoir une bille qui provient de l'urne U1 est égale à P(U2) = 10/(10 + 20 + 30) = 10/60 = 1/6.

La probabilité d'avoir une bille qui provient de l'urne U2 est égale à P(U2) = 20/(10 + 20 + 30) = 20/60 = 1/3.

La probabilité d'avoir une bille qui provient de l'urne U3 est égale à P(U2) = 30/(10 + 20 + 30) = 30/60 = 1/2.

La probabilité d'avoir une bille blanche sachant qu' elle provient de l'urne U1 est égale à
P(B|U1) = 1/6 x 10% = 1/60.

La probabilité d'avoir une bille blanche sachant qu' elle provient de l'urne U2 est égale à
P(B|U2) = 1/3 x 20% = 4/60.

La probabilité d'avoir une bille blanche sachant qu' elle provient de l'urne U3 est égale à
P(B|U3) = 1/2 x 30% = 9/60.

On admet que La probabilité d'avoir une bille blanche sachant qu' elle provienne de l'urne U2 est égale à la probabilité d'avoir une bille qui provient de l'urne U2 sachant qu' elle est blanche.

Nous avons:

P(B|U1) = P(U1|B) = 1/60
P(B|U2) = P(U2|B) = 4/60
P(B|U3) = P(U3|B) = 9/60

La probilité totale d'avoir une blanche est égale à

P(B) = (1/60) + (4/60) + (9/60) = 14/60

Ainsi la probabilité cherchée est P = P(B|U2)/P(B) = (4/60)/(14/60) = 4/14 = 2/7 = 28.57%

Exercice 12

Question:

Dans une bibliothèque, il y a 30 ouvrages: 7 livres d'histoire, 5 romans, 8 recueils de poems, 4 dictionnaires, et des guides de jardinage et de bricolage.

On prend un ouvrage au hasard.

a) Quelle est la probabilité d'avoir un roman?
b) Quelle est la probabilité d'avoir un livre d'histoire ou un dictionnaire?
c) Quel sont les nombres de guides sur le jardinage et sur le bricolage si la probabilité d'avoir un guide de jardinage est 2/15?

Réponse:

a) La probabilité d'avoir un roman est 5/30 = 1/6
b) La probabilité d'avoir un livre d'histoire ou un dictionnaire est égale à 7/30 + 4/30 = 11/30
c) Les guides sont en nombre de 6. Si la probabilité d'avoir un guide de jardinage est 2/15, alors

2/15 + x/30 = 6/30 → x = 2
x est le nombre de guides sur le bricolage.

y = 6 - 2 = 4 est le nombre de guides sur le jardinage.

Exercice 13

Question:

On tire à trois reprises une pièce de monnaie d'un prte monnaies qui contient 6 pièces de 1$;, 4 pièces de 2$ et 9 pièces de 25¢.

On remet la monnaie tirée dans le porte-monnaie après chaque tirage.



a) Construire le diagramme en arbre qui représente cette situation.
b) Quelle est la probabilité de tirer une pièce de 2$ 3 fois de suite?
c) Quelle est la probabilité de tirer une pièce de 25¢, suivie d'une pièce de 1$ et encore d'une pièce de 1$ ?
d) Quel est l'événement qui le plus de chance de ce réaliser?
e) Quel est l'événement le moins probable?

Réponse:

a)

b) P(2$ 2$ 2$) =
(4/19) x (4/19) x (4/19) = 0.9%

c) P(25¢ 1$ 1$) =
(9/19) x (6/19) x (6/19)= 4.7%

d) P(le plus probable) = P(le plus grand numérateur)


Du côté des pièces 25 ¢ → plus grand numérateur c'est 9 x 9 x 9 . Donc

P(le plus probable) = 9 x 9 x 9 /19 x 19 x 19 = 10.63%

e) P(le moins probable) = P(le plus petit numérateur)


Du côté des pièces 2$ → plus petit numérateur c'est 4 x 4 x 4 . Donc

P(le plus probable) = 4 x 4 x 4 /19 x 19 x 19 = 0.9%.

Exercice 14

Question:

On lance la fléchette dans le but d'atteindre un cercle parmi le cercle A de rayon 4 cm ou le cercle B de rayon 2cm.

a) Quelle est la probabilité que la fléchette atteigne le cercle de référence R?

b) Quelle est la probabilité que la fléchette atteigne le cercle A?

c) Quelle est la probabilité que la fléchette atteigne le cercle B?

d) Quelle est la probabilité que la fléchette atteigne le cercle A ou le cercle B?

e) Quelle est la probabilité que la fléchette atteigne l'espace complémentaire au cercle A et B?

Réponse:

a) La probabilité que la fléchette atteigne le cercle de référence de rayon 10 cm est égale à
P(R) = (aire du cercle R)/ (aire du cercle R) = 1

b) La probabilité que la fléchette atteigne le cercle A est égale à
P(A) = (aire du cercle A)/ (aire du cercle R) = π(4)²/π(10)² = 16/100 = 16%

c) La probabilité que la fléchette atteigne le cercle B est égale à
P(B) = (aire du cercle B)/ (aire du cercle R) = π(2)²/π(10)² = 4/100 = 4%

d) La probabilité que la fléchette atteigne le cercle A ou le cercle B est égale à
P(B ou B) = P(B ∪ B) = P(A) + P(B) = 16% + 4% = 20%

e) La probabilité que la fléchette atteigne l'espace complémentaire au cercle A et B est égale à
P(R) - (P(A) + P(B)) = 100% - 20% = 80 %.

Exercice 15

Question:

On lance la fléchette dans le but d'atteindre le triangle commun au triangle et au carré.

a) Quelle est la probabilité que la fléchette atteigne ce triangle commun?

b) Quelle est la probabilité que la fléchette atteigne le triangle ou le carré ?

Réponse:

Aire du rectangle de référence = 6.5 x 9 = 58.5 cm²

Aire du triangle = 6 x 5 /2 = 15.0 cm²

Aire du carré = 3.5 x 3.5 = 12.25 cm²

Aire du triangle commun = 2.4 x 2 /2 = 2.4 cm²

a) Le triangle commun est l'intersection du triangle et du carré. Son aire est égale à 2.4 cm²

La probabilité que la fléchette atteigne ce triangle commun est égale à
l'aire du triangle commun/aire du rectangle de référence =
2.4 cm² /58.5 cm² = 4.1%

b) La probabilité que la fléchette atteigne le triangle ou le carré est égale à
P(triangle) + P(carré) - P(triangle commun) =
15/58.5 + 12.5/58.5 - 2.4/58.5 = 43.0%

On retient:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Exercice 16

Question:

Jim a un dé tétraédrique. Lynda a un dé cubique. Dans une une urne, il y a des pastilles numérotées 1 à 8.

Les règles du jeu sont les suivantes:

Quelqu'un tire une pastille. On marque le chiffre de cette pastille.

Ensuite chacun des joueurs lance son dé. Celui ou celle qui a le même numéro que celui de la pstille gagne.

Lequel des joueurs a plus de chance de gagner, Jim ou Lynda?

Réponse:

Pour Jim, les probabilités sont P(J) = 1/4

Pour Lynda les probabilités sont P(L) = 1/6

Pour les pastilles, les probabilités sont P(P) = 1/8

L'événement "obtenir un numéro par la pastille" a une probabilité de 1/8. Par suite:

Jim a une probabilité de (1/8) x (1/4) = 1/32 = 3.1% d' avoir le même résultat que celui de la pastille.

Lynda a une probabilité de (1/8) x (1/6) = 1/48 = 2% d'avoir le même résultat que celui de la pastille.

Pour ce jeu, celui qui a un dé avec moins de faces a plus de chance de gagner .

Exercice 17

Question:

Voici une partie d'un tableau des prévisions météorologiques de Météo Média pour Montréal pendant 24 heures en tranches de 6 heures. On s'interesse aux probabilités de précipitations pendant ces 24 heures.


Le terme P.D.P. est l'abréviation utilisée pour probabilité de précipitations.

a) Quelle est la probabilité qu'il pleuve Jeudi après-midi et Jeud soir ?

b) Quelle est la probabilité qu'il pleuve Jeudi après-midi et et Vendredi Matin ?

c) Quelle est la probabilité de n'avoir aucune goutte de pluie pendant ce temps ?

d) Quelle est la probabilité qu'il pleuve Jeudi après-midi ou Vendredi Matin ?

e) Quelle est la probabilité qu'il pleuve au moins une fois pendant cette période de 24 heures ?

f) Quelle est la probabilité qu'il pleuve au plus pendant une des ces 5 périodes ?

À chaque fois qu'il y a x% de chance qu'il pleuve, il y a (100 - x)% de chance qu'il ne pleuve pas.

Les événements avec x% de chance et (100 - x)% de chance sont complémentaires.

Les événements "pleuvoir au moins pendant une période", et "ne pas pleuvoir du tout" sont complémentaires.


Voici le diagramme en arbre des probabilités:



a) La probabilité qu'il pleuve Jeudi après-midi et Jeudi soir est égale à :
P1 = 20% x 30% = 6%

b) La probabilité qu'il pleuve Jeudi après-midi et Vendredi Matin est égale à :
P2 = 20% x 70% = 14%

c) La probabilité qu'il pleuve Jeudi après-midi ou Vendredi Matin est égale à :
P3 = 20% + 70% - P2 = 20% + 70% - 14% =76%

d) La probabilité de n'avoir aucune goutte de pluie pendant ce temps est égale à :
P4 = 80% x 70% x 30% x 30% = 5%

e) La probabilité qu'il pleuve au moins une fois pendant cette période de 24 heures est égale à :
100% - P(qu'il ne pleuve pas du tout) =
P5 = 100% - (80% x 70% x 30% x 30%) = 100% - 5% = 95%

e) La probabilité qu'il pleuve au plus une fois ces 24 heures.
C'est à dire 1 ou moins:

Cette probabilité est égale à:

P6 = P4 + 80% x 70% x 30% x 70% +
80% x 70% x 70% x 30% + 80% x 30% x 30% x 30% +
20% x 70% x 30% x 30% =
5% + 11,76% + 11,76% + 2.16% + 1.26% = 31.94%

Exercice 18

Question:

Un programme informatique génère des points au hasard à l'interieur du grand cercle.

a)Quelle est la probabilité de l'événement élémentaire C1: "un des points se situe à l'intérieur de l'un des petits cercles"?

b)Quelle est la probabilité de l'événement C2: "un des points se situe à l'intérieur des deux petits cercles"?

c)Quelle est la probabilité de l'événement complémentaire de l'événement C2?

Réponse:

a) P(C1) = πr²/π(2r)r² = 1/4.

b) P(C2) = (πr² + πr²)/π(2r)r² = 2πr²/4πr² = 1/2

c) P(complémentaire de C2) = 1 - P(C2) = 1 - 1/2 = 1/2

Exercice 19

Question:

On fait tourner deux roulettes et on note le nombre formé par les chiffres obtenus sur chacune d'elles.

La première roulette donne le chiffre des dizaines et la deuxième le chiffre des unités.

Les points sur les cercles déterminent des arcs isométriques sur chacune des roulettes.

a) Quelle est la probobilité d'obtenir le nombre 27 ?

b) Peut-on former des combinaisons de chiffres dans cette expérience aléatoire? Justifier la réponse.

c) Combien de nombres peut-on former dans cette expérience aléatoire?

Réponse:

a) P(27) = (3/6) x (7/12) = 29.17%.

b) On ne peut pas former des combinaisons. Tout les nombres obtenus sans différents et déjà ordonnés.

c) On peut former n x p = 3 x 6 = 18 nombres.

n = 3 est le nombre de secteurs de la première roulette, et
p = 6 est le nombre de secteurs de la deuxième roulette.

Exercice 20

Question:

On effectue un sondage auprès de 500 familles de trois enfants et plus sur la marque des téléphones intelligents (TI) qu'ils utilisent.

Nous avons le tableau suivant:

a) La somme des pourcentages donne-t-elle 100% ?

b) On choisie une famille au hasard parmi les 500 qui ont été intérrogées. Quelle est la probabilité qu'elle n'utilise pas un BlackBerry?

Réponse:

a) La somme des probabilités de donnerait pas 100% puisque les événements associés à chacun des pourcentages ne sont incompatibles. En effet, parmi ces évenements, il y a ceux qui possèdent des résultas communs. Une famille de trois enfants et plus peut bien avoir, au plus, trois téléphones intélligents.

b) Parmi les 500 familles intérrogées, 45% utilsent un BlackBerry. Donc 55% des familles ne l'utilisent pas. La probabilité qu'une famille prise au hasard, n'utilise pas un BlackBerry est égale à 55%.