Algèbre:

La complétion du carré

La complétion du carré utlise les deux identités remarquables suivantes appelées respectivement trinôme carré parfait et différence des carrés:

$$\large\bf\color {brown} { (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2 a b + b^2 \\ \text{} \\ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) }$$

1. Définition de la complétion du carré

La complétion du carré utilise des manipulations algébriques.

C'est une technique qui consiste à ajouter un carré à une expression de la forme ax²+ bx de façon à obtenir un trinôme carré parfait de la forme (x + r)².

Cette technique sert à :

• Écrire une fonction quadratique, sous sa forme canonique à partir de sa forme générale,

• Factoriser un trinôme.

2. La méthode de complétion du carré

1. Forme canonique d'une fonction quadratique par
la méthode de complétion du carré

• Si le facteur de x² est différent de 1, on le met en évidence,

• On transforme ax²+ bx en un trinôme carré parfait en lui ajoutant et soustrayant (b/2)²,

• On factorise le trinôme carré parfait,

• On regroupe les derniers termes constants .

Exemples

a) fo(x) = 3 x² - 12x + 16

On s’assure que le coefficient du premier terme est 1. Il faut donc faire une mise en évidence simple avec 3:

fo(x) = 3 (x² - 4x) + 16 = 3 (x² - 2 ( 2)(x) ) + 16

On transforme le trinôme entre parenthèses en un trinôme carré parfait. Pour ce faire, on doit ajouter et soustraire 2² afin de compléter le carré sans changer l’expression algébrique.

fo(x) = 3 (x² - 2 2x + 2² - 2²) + 16
fo(x) = 3 (x² - 2 2x + 2²) - 3 2² + 16

3. On factorise le trinôme carré parfait et on regroupe les deux derniers termes:

fo(x) = 3 (x - 2)² - 12 + 16
fo(x) = 3 (x - 2)² + 4

La forme canonique de la fonction est fo(x) = 3 (x - 2)² + 4

a = 3 , h = 2, et k = 4

b) f₁(x) = x² – 4x + 1
= x² – 4x + 4 - 4 + 1
= (x² – 4x + 4) - 4 + 1
= (x - 2)² - 3

f₁(x) = (x - 2)² - 3

c) f₂(x) = x² + 3x - 4
= x² + 2(3/2) x + 9/4 - 9/4 - 4
= (x² + 2(3/2) x + 9/4) - 9/4 - 4
= (x + 3/2)² - 25/4

f₂(x) = (x + 3/2)² - 25/4

d) f₃(x) = x² - x - 1
= x² - 2(1/2) x + 1/4 - 1/4 - 1
= (x² - 2(1/2) x + 1/4) - 1/4 - 1
= (x - 1/2)² - 5/4

f₃(x) = (x - 1/2)² - 5/4

e) f₄(x) = 3x² – 6x + 5
= 3(x² - 2x) + 5
= 3(x² - 2x + 1 - 1) + 5
= 3(x² - 2x + 1) - 3 + 5
= 3 (x - 1 )² + 2

f₃(x) = 3(x - 1)² + 2

2. Factoriser un trinôme.

• Si le facteur de x² est différent de 1, on le met en évidence,

• On transforme ax²+ bx en un trinôme carré parfait en lui ajoutant et soustrayant (b/2)²,

• On factorise le trinôme carré parfait,

• On regroupe les derniers termes constants

• On obtient une différence de carrés

• On factorise la différence de carrés.

On note bien que si le discriminant du trinôme sous la forme génerale est négatif, alors ce dernier ne se factorise pas.

Exemples

a) fo(x) = 3 (x² - 4x) + 16

La forme canonique de la fonction est : fo(x) = 3 (x - 2)² + 4

Le discriminant est : (-4)² - 4(3)(16) < 0 , donc pas de forme factorisée.



b) f₁(x) = x² – 4x + 1
La forme canonique de la fonction est: f₁(x) = (x - 2)² - 3

f₁(x) = (x - 2)² - (√3)² = (x - 2 - √3)(x - 2 + √3)

c) f₂(x) = x² + 3x - 4

La forme canonique de la fonction est : f₂(x) = (x + 3/2)² - 25/4

on transforme l'expression en différence de carrés.

f₂(x) = (x + 3/2)² - (5/2)²

On factorise la différence de carrés:

(x + 3/2 + 5/2)(x + 3/2 - 5/2) = (x + 4)(x - 1)

d) f₃(x) = x² - x - 1

La forme canonique de la fonction est: f₃(x) = (x - 1/2)² - 5/4

(x - 1/2 - √5/2)(x - 1/2 + √5/2)

e) f₄(x) = 3x² – 6x + 5

La forme canonique de la fonction est :

f₃(x) = 3(x - 1)² + 2 Le discriminant est : (-6)² - 4(3)(5) < 0 , donc pas de forme factorisée.