Mathématiques 2: Probabilités: Exercices de révision
Définitons
Exercice 1
Compléter
Une expérience aléatoire est une expérience dont le
...... est obtenu par hasard.
L'expérience aléatoire peut se refaire ......
jusqu'à l'obtention du résultat souhaité.
L’ensemble des résultats ..... est connu dès le départ.
L’univers des possibles, noté Ω est l’ensemble
de tous les ..... possibles d’une expérience.
Un événement est un fait qui peut se produire .
Il se trouve dans l’univers des .... et représente
un sous-ensemble de cet .... Ω.
Un événement est noté par une lettre .... (A, B, C, ...)
Un événement impossible est un événement qui ne
se réalisera .... Il correspond à la partie
vide de &Oméga; et se note {} ou Φ.
Un événement certain est un événement qui se ......
toujours. Il contient tous les éléments de Ω.
Un événement élémentaire est un événement qui
ne contient qu’un ..... élément.
Deux événement sont incompatibles s'il ne peuvent
se ..... en même temps.
Deux événement sont complémentaires si la probabilité
que l'un se réalise + celle que l'autre se réalise, en
même temps est égale à ... .
Exercice 2
Le cardinal d'un ensemble est égal au
nombre d'éléments que contient cet ensemble.
Si l'ensemble Ω contient n élements, alors le cardinal de Ω est égal à n. On ecrit:
Card(Ω) = n.
À partir d’une expérience aléatoire, le nombre
d’événements possibles sur un univers de possibilités
Ω de cardinal n est égal au nombre de sous-ensembles que l'on peut former à partir de l'ensemble Ω.
Ce nombre d’événements est égal à 2n
où n représente le cardinal de Ω.
Exemple:
Ω = {♣,♥,♠}.
n = Card(Ω) = 3,
Donc le nombre d’événements possibles = 23 = 8.
Ces événements possibles sont:
{(♣),(♥),(♠),(♣,♥),
(♣,♠),(♥,♠),(♣,♥,♠),Φ}
Question:
Quels sont les événements possibles avec quatre cartes
de couleur différentes d'un jeu de 52 cartes ?
Ω = {♣,♥,♠,♦}.
Exercice 3
Voici les méthodes de dénombrement :
1. Avec ordre et avec répétition:
Exemple :
Lancer une pièce de monnaie 4 fois.
Nombre de possibilité = 2 x 2 x 2 x 2 = 24 = 16.
2. Avec ordre et sans répétition:
Exemple :
Former avec 5, 6, 7 des nombres de 3 chiffres
distincts.
Nombre de possibilité = 2 x 2 x 2 x 2 = A(3,3) =
3!/(3 - 3)! = 3 x 2 x 1 = 6.
3. Sans ordre et sans répétition:
Exemple :
On choisi 4 livres parmi 15.
Nombre de possibilité = C(4,15) = 15!/4!(15 - 4)!
12 x 13 x 14 x 15 / 24 = 1365.
4. Sans ordre et avec répétition :
a. Exemple :
Former un nombre de deux chiffres avec
5, 6, 7.
Nombre de possibilité = D(2,3) = (2 + 3 - 1)!/2!(3 - 1)!
24/4 = 6.
Question:
Donner un exemple pour chaque méthode.
Exercice 4
Compléter
La probabilité théorique est le .....
obtenu sans .... d’essais. Ce résultat est basé
sur un raisonnement purement mathématique.
p = Nombre de cas favorables/Nombre de cas possibles
Exemples:
La probabilité d’obtenir un quatre avec un dé
cubique = .../6
On tire une carte d'un jeu de 52 cartes.
Quelle est la probabilité d’obtenir un valet?
Nombre de cas favorables : Il y a 4 vallets
Nombre de cas possibles : Il y a 52 cartes.
Donc P = 4/52 = 1/13.
La probabilité fréquentielle est ...... à calculer.
Elle est expérimentale. C'est un just un pourcentage.
Son résultat s'obtient avec répétition d’une expérience.
Exemple :
Parmi les 16 téléphones reçus cette journée, quelle
est la probabilité qu'ils soient des interurbains ?
Il haut les noter et les compter. Si quatre proviennent des
États, alors P = 4/16 = 1/4 = 25%.
La probabilité géométrique correspond à
la réalisation d’un résultat du point de vue
géométrique: linéaire, surfacique ou volumique.
La probabilité d’atteindre une cible de surface S
comprise dans une surface totale A est:
Exemple:
P = Aire de la cible/Aire de la surface totale = S/A.
Exercice 5
On dispose de 5 billes dans une urne. 3 rouges,
2 blues et une verte. On tire une bille
puis une deuxième. Pour 2 tirages avec remise,
on obtient l'arbre de probabilités suivant:
a) Compléter cet arbre de probabilité.
b) Refaire le même arbre et calculer les probabilités
correspondantes pour deux tirages sans remise.
Exercice 6
On lance la fléchette dans le but d'atteindre
un cercle parmi le cercle A de rayon 4 cm ou
le cercle B de rayon 2cm.
a) Quelle est la probabilité que la fléchette
atteigne le cercle de référence R?
b) Quelle est la probabilité que la fléchette
atteigne le cercle A?
c) Quelle est la probabilité que la fléchette
atteigne le cercle B?
d) Quelle est la probabilité que la fléchette
atteigne le cercle A ou le cercle B?
e) Quelle est la probabilité que la fléchette
atteigne l'espace complémentaire au cercle A et B?
Exercice 7
Combien de mots de cinq lettres distinctes
peut-on former avec les huit lettres du mot
"question"?
Exercice 8 résolu
Eddy jette un dé à quatre faces 1, 2, 3 et 4.
Rosemary jette un dé à six faces 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Quelle est la probabilité pour qu'Eddy obtienne
un nombre plus grand que celui de Rosemary ?
Rosemary →
Eddy
↓
1
2
3
4
5
6
1
-
-
-
-
-
-
2
+
-
-
-
-
-
3
+
+
-
-
-
-
4
+
+
+
-
-
-
Il y a 6 résultats favorables et 24 résultats équiprobables
possibles.
la probabilité pour qu'Eddy obtienne uun nombre
plus grand que celui de Rosemary est de 6/24, ou 1/4.
