Chimie: Maths 45 Géométrie
Théorème de Thalès
Exercices de révisions

1. Théorème de Thalès direct

1ere version

Dans un triangle ABC,
si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC],
et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles,
alors : $\bf\color{purple}{ \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}} }$

2eme version

Pour les trois configurations suivantes:

Soient (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de la droite (d’), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :
$\bf\color{indigo}{ \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}} }$
La version 1 et la 1ere configuration de Thalès dans la version 2 sont les mêmes.

2. Réciproque du Théorème de Thalès

Pour les trois configurations de Thalès:

Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de (d’), distincts de A.
$\color{blue}{ Si \; \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} \; \text {et} \\ \text{ Si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans } \\ \text{ le même ordre,}} \color{red}{\text{ alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.} }$

Exercices: Théorème de Thalès

1. Exercice résolu 1

Montrer que la configuration 2 est une configuration de Thalès. C'est à dire qu'elle est équivalente à la configuration 1.

Les trois rapports de Thalès de la configuration 2 s'ecrivent:
$\color{green}{ \dfrac{\text{AB}}{\text{AM}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AN}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{MN}} }$ En inversant ces rapports, on obtient les nouveaux rapports de Thalès, qui correspondenr à ceux de la configuration 1:
$\color{brown}{ \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}. }$
Le configurations 1 et 2 donnent les mêmes rapports. Elles sont donc équivalentes.

2. Exercice résolu 2

Montrer que la configuration 3 est une configuration de Thalès. C'est à dire qu'elle est équivalente à la configuration 1.

Les droites (d) et (d’) sont sécantes en A ;
B et M sont deux points de la droite (d), distincts de A ;
C et N sont deux points de la droite (d’), distincts de A ;
les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

• Par la symétrie de centre A, on construit les points M’ et N’, symétriques des points M et N respectivement.

Donc (M’N’) est la symétrique de (MN) par rapport à A.

Or, la symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.

On en déduit que les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

• De plus, on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Or, si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

On en conclut que les droites (M’N’) et (BC) sont parallèles.

• M’ est le symétrique de M par rapport à A, donc AM’ = AM.
N’ est le symétrique de N par rapport à A, donc AN’ = AN.

Les segments [MN] et [M’N’] sont symétriques par rapport à A. Or,
la symétrie centrale conserve les longueurs, donc MN = M’N’.

• Dans le triangle ABC, M’ est un point du côté [AB], N’ est un point du côté [AC] et les droites (M’N’) et (BC) sont parallèles, alors
$\dfrac{\text{AM'}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN'}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{M'N'}}{\text{BC}}.$
Or, on a montré que AM’ = AM, AN’ = AN et que M’N’ = MN, donc : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}.$
Le configurations 1 et 3 donnent les mêmes rapports. Elles sont donc équivalentes.