Mathématiques 45: Algèbre
Règle de Cramer

1. Règle de Cramer

$\bf{ \color{green}{ \text{On considère le système de deux équations} \text{ } \\ \text{ linéaires à deux inconnues suivant:} \text{ } \\ \text{ } \\ \begin{cases} \text{ a x} + \text{ b y = m }\\ \text{ c x } + \text{ d y = n } \end{cases} \text{ } \\ \text{ } \\ \text{ } \\ \text{La règle de Cramer donne :} \\ \text{ } \\ \eqalign{ \Delta = \begin{vmatrix} a & b \cr c & d \end{vmatrix} = a \times d - c \times b \text{ } \\ \text{ } \\ \Delta_x = \begin{vmatrix} m & b \cr n & d \end{vmatrix} = m \times d - n \times b \text{ } \\ \text{ } \\ \Delta_y = \begin{vmatrix} a & m \cr c & n \end{vmatrix} = a\times n - c \times m } } \text{ } \\ \text{ } \\ \text{ } \\ \text{ Donc } \\ \text{ } \\ \text{ } \\ } \Large{ \color{brown}{ x = \frac{\Delta_x }{\Delta} \text{ } \\ \text{ } \\ y = \frac{\Delta_y }{\Delta} } }$

2. Exemple

$\bf{ \color{indigo}{ \text{On considère le système de deux équations} \text{ } \\ \text{ linéaires à deux inconnues suivant:} \text{ } \\ \text{ } \\ \begin{cases} \text{ 2 x} + \text{ 3 y = - 4 }\\ \text{ - 5 x } + \text{ 6 y = 7 } \end{cases} \text{ } \\ \text{ } \\ \text{ } \\ \text{La règle de Cramer donne :} \\ \text{ } \\ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \cr - 5 & 6 \end{vmatrix} = 2 \times 6 - (- 5)\times 3 = 12 + 15 = 27. \text{ } \\ \text{ } \\ \Delta_x = \begin{vmatrix} - 4 & 3 \cr 7 & 6 \end{vmatrix} = - 4 \times 6 - 7 \times 3 = - 24 - 21 = - 45 . \text{ } \\ \text{ } \\ \Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & - 4 \cr - 5 & 7 \end{vmatrix} = 2 \times 7 - (- 5) \times (- 4) = 14 - 20 = - 6. } \text{ } \\ \text{ } \\ \text{ } \\ \text{ Donc } \\ \text{ } \\ \text{ } \\ } \Large{ \color{brown}{ x = \frac{- 45}{27} = - \frac{5}{3} \text{ } \\ \text{ } \\ y = \frac{- 6}{27} = - \frac{2}{9} } }$