Mathématiques 23 Géométrie
Triangles rectangles et cercles

On dit cercle circonscrit au triangle et
cercle inscrit dans un triangle.

On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.
Son centre est le point d'intersection des médiatrices des trois côtés de ce triangle.

Les propriétés directes d'une figure géométriques proviennent de la nature de cette figure:

Par exemple, une propriété directe d'un triangle rectangle est que ce triangle possède un angle droit.

Les propriétés réciproques d'une figure géométrique donnent la preuve de la nature de cette figure.

Par exemple, les propriétés réciproques d'un triangle isocèle montre que ce triangle est isocèle: Si deux angles d'un triangle ont même mesue, alors ce triangle est isocèle.

1. Propriétés des triangles rectangles et cercles

1.1. Propriétés:

P1. Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.

P2. Si un angle BAC est droit, alors A appartient au cercle de diamètre [BC].

P3. Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est la moitié de celle de l’hypoténuse.

1.2. Propriétés réciproques:

PR1. Si un triangle est défini par le diamètre d’un cercle et un autre point du cercle, alors ce triangle est rectangle.

PR2. Si le sommet A d’un angle appartient au cercle de diamètre [BC] alors l’angle BAC est droit.

PR3. Si dans un triangle, la médiane issue d’un sommet à une longueur égale à la moitié du côté opposé alors ce triangle est rectangle en ce sommet.

2. Propriétés du triangle isocèle

2.1. Propriétés

P1.: Si ABC est isocèle en A alors, la hauteur issue de A, la bissectrice de Â, la médiane issue de A, la médiatrice de [BC] sont confondues.

P2.: Les deux angles à la base d'un triangle isocèle ont même mesure.

2.2. Propriétés réciproques

PR1.: Si un triangle a ses angles à la base égaux alors il est isocèle.

PR2.: Si dans un triangle ABC la médiane issue de A et la médiatrice de [BC] sont confondues alors il est isocèle en A.

PR3. : Si dans un triangle ABC la médiane issue de A et la bissectrice de l'angle A sont confondues alors il est isocèle en A.

PR4. : Si dans un triangle ABC la médiane et la hauteur issues de A sont confondues alors il est isocèle en A.

PR5. : Si dans un triangle ABC la hauteur issue de A et la médiatrice de [BC] sont confondues alors il est isocèle en A.

PR6. : Si dans un triangle ABC la hauteur issue de A et la bissectrice de A sont confondues alors il est isocèle en A.

PR7. : Si dans un triangle ABC la bissectrice de l'angle A et la médiatrice de [BC] sont confondues alors il est isocèle en A.

PR8.: Si dans un triangle ABC, deux angles à la base ∠B et ∠C ont même mesure, alors ce triangle est isocèle en A.

3. Application:
cercle circonscrit au triangle rectangle

A et C sont deux points diamétralement opposés sur le cercle.

B est un point quelconque sur le cercle.

D est le symétrique de B par rapport à la droite (AC).

Questions

a) Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.

b) Montrer que D est sur le cercle.

Réponses

a) D'après la propriété: PR2 de 1.2. , l'angle B est droit. Ainsi le triangle ABC est rectangle en B.

b) D est le symétrique de B par rapport à AC, donc le segment [BD] est perpendiculaire à AC et BI = ID

Le segment [BD] est perpendiculaire à AC, donc AI est la hauteur du triangle ABD.

BI = ID donc [AI] est la médiane de [BD] issue du point A.

BI = ID et [AI] ⊥ [BD], donc [AI] est la médiatrice du côté [BC] du triangle ABC.

Dans un triangle ABC la médiane [AI] et la hauteur [AI] issues de A sont confondues. D'après la propriété PR4 du 2.2. , le triangle ABD est isocèle.

Conformément à la propriété P2 du 2.1. , les angles à la base du triangle ABD ont la même mesure.

Un même raisonnement pour le triangle BCD conduit au fait que les angles à la base du triangle BCD ont la même mesure.

Ainsi la somme des mesures des angles adjacents à la base des deux triangles ABD et BCD est la même. Donc mes(∠B) = mes(∠D )

Puisque B est droit, alors D est droit.

Ainsi, le triangle ACD est rectangle en B.

[AC] étant le diamètre du cercle. D'après la propriété P2 du 1.1., le point D appartient au cercle.