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Maths
- 45 -





© The scientific sentence. 2013


Chimie: Maths 45 Géométrie
Théorème de Thalès
Exercices de révisions



1. Théorème de Thalès direct


1ere version


Dans un triangle ABC,
si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC],
et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles,
alors :



2eme version


Pour les trois configurations suivantes:



Soient (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de la droite (d’), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :

La version 1 et la 1ere configuration de Thalès dans la version 2 sont les mêmes.



2. Réciproque du Théorème de Thalès


Pour les trois configurations de Thalès:

Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de (d’), distincts de A.



Exercices: Théorème de Thalès


1. Exercice résolu 1


Montrer que la configuration 2 est une configuration de Thalès. C'est à dire qu'elle est équivalente à la configuration 1.

Les trois rapports de Thalès de la configuration 2 s'ecrivent:
En inversant ces rapports, on obtient les nouveaux rapports de Thalès, qui correspondenr à ceux de la configuration 1:

Le configurations 1 et 2 donnent les mêmes rapports. Elles sont donc équivalentes.



2. Exercice résolu 2


Montrer que la configuration 3 est une configuration de Thalès. C'est à dire qu'elle est équivalente à la configuration 1.

Les droites (d) et (d’) sont sécantes en A ;
B et M sont deux points de la droite (d), distincts de A ;
C et N sont deux points de la droite (d’), distincts de A ;
les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

• Par la symétrie de centre A, on construit les points M’ et N’, symétriques des points M et N respectivement.

Donc (M’N’) est la symétrique de (MN) par rapport à A.

Or, la symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle.

On en déduit que les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles.

• De plus, on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Or, si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

On en conclut que les droites (M’N’) et (BC) sont parallèles.

• M’ est le symétrique de M par rapport à A, donc AM’ = AM.
N’ est le symétrique de N par rapport à A, donc AN’ = AN.

Les segments [MN] et [M’N’] sont symétriques par rapport à A. Or,
la symétrie centrale conserve les longueurs, donc MN = M’N’.

• Dans le triangle ABC, M’ est un point du côté [AB], N’ est un point du côté [AC] et les droites (M’N’) et (BC) sont parallèles, alors

Or, on a montré que AM’ = AM, AN’ = AN et que M’N’ = MN, donc :
Le configurations 1 et 3 donnent les mêmes rapports. Elles sont donc équivalentes.



Exercices: Réciproque du Théorème de Thalès


1. Exercice 1


Montrer que parmi les quatres dessins suivants, un seul correspond à une configuration de Thalès. Justifier les réponses.








  


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