Mathématiques 45: Géométrie:
Les coniques

Exercice 1

Compléter

Le cercle est le lieu d’un point situé à une même .....(r) d’un autre point fixe (O), appelé ....... du cercle .

L'ellipse est le lieu d’un point dont la somme des ........ à deux points fixes appelés ...... est constante.

L'....... est le lieu d’un point dont la valeur absolue de la ........ des distances à deux points fixes appelés foyers est constante.

La parabole est le lieu d’un point situé à une même distance d’un point fixe appelé foyer et d’une droite fixe, appelée ......... .

Dans une ellipse:

a : distance entre le centre et un sommet horizontal.
b : distance entre le centre et un sommet vertical.
c : distance entre le centre et un foyer.

Si l'axe focal est horizontal, on a:
a² = ....... + c²

Si l'axe focal est vertical, on :
........ = a² + c²

Exercice 2

Trouver l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le point P(+ 3, - 4) appartient au cercle.

Exercice 3

a) Ecrire l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le diamètre est de 10 unités ?

b) Quelle est l'abscisse d'un point d'ordonnée égale - 3 ?

c) Montrer que le point I(- 4, + 2) se trouve à l'intérieur du cercle.

d) Montrer que le point E(+ 6, 0) se trouve à l'exterieur du cercle.

e) Généraliser à partir des résultats trouvés en c) et d), en plaçant les signes >, =, ou < dans les propositions suivantes:

Soit un cercle de rayon R. Un pont P(x, y) est:

• Sur le cercle si:
x² + y² ..... R²

• À l'extérieur du cercle si:
x² + y² ..... R²

• À l'intérieur du cercle si:
x² + y² ..... R²

Exercice 4

Trouver l'équation de la tangente à un cercle d'équation x² + y² = 25, au point P(+ 3, + 4).

Antisèche:

Pente de la droite (OP) = 4/3
Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes respectives est égal à -1.

Donc la pente de la tangente est égale à - 3/4.

Cette tangente passe par le point P, donc
4 = - (3/4)(3) + b

b = ...... .

L'équation de la tangente est:

y = .... x + .... .

Exercice 5

Le grand axe d’une ellipse mesure 15 unités et le petit axe 11 unités. Quelle est la distance focale ?

Antisèche:
(distance focale)² = (grand axe)² - (petit axe)²

Exercice 6 résolu

Questions:

La distance entre deux sommets d’une hyperbole est de 16 unités.
L'un de ses foyers a pour coordonnées (0, 10).

a) Quelle est l'équation de cette conique?

b) Montrer que le point (0, 10) est à l'extérieur de cette hyperbole.

Réponses:

a)
Un foyer a pour coordonnées (0, 10), celà implique que l'axe est vertical.

c = 10 unités.

b = 16/2 = 8 unités.

Il reste à calculer le paramètre a:

Nous avons toujours pour une hyperbole:

c² = a² + b²

Donc

a² = c² - b² =

10² - 8² = 36

d'où :

a = ± 6 unités.

L'équation de l'hyperbole est donc:

y² /b² - x² /a² = 1

y² /64 - x²/36 = 1

b)
La région intérieure d'une hyperbole est la région où se trouvent ses foyers.

Lorsque l'axe de l'hyperbole est horizontal, les points intérieurs satisfont l'inéquation:

x²/a² - y²/b² > 1

Lorsque l'axe de l'hyperbole est vertical, les points intérieurs satisfont l'inéquation:

y²/b² - x²/a² < 1

Nous avons ici un axe vertical. On doit donc tester l'inéquation:

y²/b² - x²/a² < 1

Le point (0, 10) donne :

y²/b² - x²/a² =
0² /64 - 10²/36 = - 100/36.

- 100/36 <1: oui.

Ainsi le point (0, 10) est à l'intérieur de l'hyperbole.

Exercice 7

Une parabole centrée à l’origine a pour foyer le point F(0, - 5).

a) Quelle est l'équation de cette conique?

b) Le point P(- 5, + 2) est-t-il sur le lieu géométrique de la parabole?

Antisèche:

x² = 4cy = - 20 y
(- 5)² = - 20 (2) = - 40
........

Exercice 8

a) Résoudre le système d’équations suivant :

x - y + 3 = 0
x²/16 + y²/49 = 1

b) Trouver l'équation d'une droite qui n'a aucun point d'intersection avec l'ellipse.