Mathématiques 2
Statistiques
Rang cinquième d'une donnée statistique

1. Le rang cinquième d'une donnée

1. Définition

Dans une série statistique, le rang cinquième d'une donnée indique dans quel groupe une donnée se trouve lorsqu'on sépare la distribution en cinq groupes contenant environ 20% des données chacun.

On note que:

• Les données de même valeur doivent se retrouver dans le même rang.
• Les données les plus élevées se retrouvent dans le rang 1.

2. Exemple

On considère la suite statistique suivante:

5, 12, 14, 17, 20, 23, 23, 44, 55, 67, 67, 67, 68, 72, 72, 78, 99, 122, 187, 190, 195, 200 .

L'effectif total de la série statistique est égal à 22; c'est à dire, nous avons 22 données au total.

On a:

5, 12, 14, 17, 20, 23, 23, 44, 55, 67, 67, 67, 68, 72, 72, 78, 99, 122, 187, 190, 195, 200 .

À quel rang cinquième appartient la donnée 67 ?

R5:(67) = 5 x [nombre de donnée de valeur supérieure à 67 + (nombre de données de même valeur que 67)/2]/ nombre total de données =

5 x (10 + 3/2)/22 = 2.6 = 3

Le rang cinquième n'est pas un entier, on a arrondi à l'entier supérieur.

La donnée 67 appartient au 4ième rang cinquième.

3. Formule générale

2. Exercices résolus

Exercice 1

Jamélia est la 12ième élève ayant la meilleure note en dessin dans un concours de dessin d'enfants qui compte 97 élèves.

Quatre autres élèves ont la même note.

Trouver son rang cinquième.

On place les notes , donc la performance, en ordre croissant.

On se placer à la fin de la série de 5 notes identiques. Donc, il y aura 11 notes supérieures à celle de Jamélia.

R5 :(Jamélia) = 5 x (11 + 5/2)/ 97 = 0.69

Donc, Jamélia est dans le premier rang cinquième.

Exercice 2

Soit la série suivante:

60, 61, 61,63, 64, ... 12 nombres, ... , 71, 73, 73, 76, 76, 76, 76, , 78, 79, 79, 79, 81, ... 19 nombres ... , 85, 87, 87, 87, ... 6 nombres ..., 91, 91, 91, 92, 92, 92, 92, 93, 93, 93, 93, 94, ... 13 nombres ... , 103, 107, 107, 109, 111, 111, 111, 112, 123, ... 16 nombres ... , 119.

Lequel des énoncés suivants est faux ?

a) 112 est le plus petit nombre dans le rang cinquième 1
b) 93 est le plus grand nombre dans le rang cinquième 3
c) 111 est dans le rang cinquième 1
d) 85 est dans le rang cinquième 4

réponse:

L'effectif total de la série est 100.

On divise la série par 5: 100/5 = 20.

Chaque groupe de la série contient donc environ 20 données.

60, 61, 61,63, 64, ... 12 nombres, ... , 71, 73, 73,
76, 76, 76, 76, , 78, 79, 79, 79, 81, ... 10 nombres ... , 85,
87, 87, 87, ... 6 nombres ..., 91, 91, 91, 92, 92, 92, 92, 93, 93, 93, 93,
94, ... 13 nombres ... , 103, 107, 107, 109, 111, 111, 111,
112, 123, ... 16 nombres ... , 119. .

Le rang 5 contient 20 données, le rang 4 20 données, le rang 3 20 données, le rang 6 21 données, et le rang 1 19 données.

a) VRAI
b) VRAI
c) FAUX
d) VRAI

La bonne réponse est c).

Exercice 3

Voici les notes obtenues dans un examen d'arts plastiques par Ben et Shamael, ainsi que 25 autres élèves:

33, 38, 45, 52, 52, 53, 53, 59, 62 62, 62, 65, 67, 69, 69, 74, 78, 78, 81, 84, 89, 91, 91, 91, 94, 95, 98.

• Ben et Shamael sont clasées dans le même rang cinquième.
• La note de Shamael est la plus petite de son rang cinquième
• Peronne d'autres n'a la même note que Ben
• La note de Ben correspond à l'un des quartiles Q1, Q2, ou Q3 de la distribution.

Quelle sont les notes de Ben et de Shamael ?

Réponse:

Nous avons 27 données. Avec 5 rangs, nous aurons environ 27/5 = 5 données par groupe:



33, 38, 45, 52, 52,
53, 53, 59, 62, 62, 62,
65, 67, 69, 69, 74,
78, 78, 81, 84, 89,
91, 91, 91, 94, 95, 98.

27 est impair :(27 - 1)/2 = 13. Donc Q2 = V(13 + 1) = V(14) = 69

27 n'est pas divisible par 4 :

27/4 = 6.75 . Donc Q1 = V(6 + 1) = V(7) = 53
27 x 3/4 = 20.25 . Donc Q3 = V(20 + 1) = V(21) = 89.

La note de Ben, est donc soit 53, soit, soit 69, soit 89.
La note de Ben est unique,
53 n'est pas unique dans la distribution; 69 non plus.
Mais 89 est unique. Donc

la note de Ben est 89.

89 est dans le rang cinquième 2.
La note de Shamael est aussi dans le rang cinquième. qui est la plus petite, c'est à dire 78. Donc

La note de Shamael est 78 .

Exercice 4

Jim et Tom participent à une compétition de tirs à l'arc. Voici les résultats obtenus de 27 participants incluant ceux de Jim et de Tom.

30, 31, 32, 32, 32, 41, 41, 43, 48, 48, 51, 51, 55, 57, 60, 60, 64, 64, 64, 70, 72, 72, 73, 73, 73, 77, 80.

Le score de Jim n'est pas dans le premier quartile. La moyenne des scores de Jim et de Tom est 47 Le score de Tom est plus élevé que celui de Jim

Dans quel rang cinquième se trouve le score de Tom ?

Réponse:

L'effectif total est 27.

27 est impaire → (27 - 1)/2 = 13.
Donc Q2 = V(13 + 1) = V(14) = 57.

27/4 = 6.75. Donc Q1 = V(7) = 41
27 x 3/4 = 20.25. Donc Q3 = V(21) = 72.

27/5 = 5.4 . Donc environ 5 données seront placées dans chaque rang. Les rangs quintiles sont:

30, 31, 32, 32, 32,
41, 41, 43, 48, 48,
51, 51, 55, 57, 60, 60,
64, 64, 64, 70, 72, 72,
73, 73, 73, 77, 80.

Le score de Jim n'est pas dans le premier quartile. Il est donc supérieur à 41 et doit aussi être plus petit que la moyenne 47. Il vaut don 43.

On remarque que dans les rangs cinquièmes 4 et 3, les données 43 et 51 répondent à la question.

Le score de Tom se trouve dans le troisième rang cinquième .