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Lois de Probabilité : Lois discrètes

1. Variable aléatoire discrète

Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque valeur de la variable aléatoire discrète ou continue.

Une variable aléatoire est discrète si elle prend des valeurs entières discontinues sur un intervalle donné.

2. Loi uniforme

2.1. Définition

Une distribution de probabilité suit une loi uniforme lorsque toutes les valeurs prises par la variable aléatoire sont équiprobables. Si n est le nombre de valeurs différentes que peut prendre la variable aléatoire, alors

i, P(X = xi) = 1/n

C'est l'exemple d'un lancer d'un dé non pipé.

2.2. Cas particulier: Suite des rangs

Pour la variable aléatoire X qui associe des rangs i aux résultats xi, son espérance est

E(x) = Σxi = Σi = (n+1)/2

n est le nombre de rangs ou de résultats xi que peut prendre la v.a. X.

Sa variance est V(x) = (1/n)Σxi² - [E(X)]² = (n² - 1)/12

C'est l'exemple d'un lancer d'un dé non pipé de n faces numérotées 1, 2, 3, , ..., n.

3. Loi de Bernouilli

3.1. Définition

L'univers Ω comprend juste deux éventualités, S pour succès et E pour échec.

Ω = {E, S}

On construit la variable aléatoire discrète X sur Ω correspondant aux nombre de succès, comme suit:

Pour une épreuve:

X = 1 si S est réalisé
X = 0 si E est réalisé.

La variable de Bernoulli ou variable indicatrice, la variable aléatoire X telle que :

X : Ω → R
X (Ω) = {0,1}

La loi de probabilité associée à la variable de Bernoulli X est appelée loi de Bernoulli notée B(1,p) telle que:

P(X = 0) = q
P(X = 1) = p avec p + q = 1.

3.2. Espérance et variance de B(1,p)

E(X) = Σxipi = (0 x q) + (1 x p) = p

V(X) = Σxi²pi - [E(X)]² = 0²q + 1²p - p² =
p - p² = pq

4. Loi binomiale

4.1. Définition

La loi binomiale c'est la loi de Bernoulli avec n épreuves

Si Xi est la variable de Bernoulli pour une épreuve:

Xi : Ω → R
Xi (Ω) = {0,1}

Alors la variable aléatoire X pour n épreuves est défini par :

Sn : Ωⁿ → Rⁿ ΣXi
où Xi est une variable de Bernoulli

Le nombre de succès Sn pour X est égal à Sn succès = ΣXi où chaque Xi vaut 1.

La variable binomiale Sn est le nombre de succès obtenus lors de la répétition de n épreuves identiques et indépendantes, chaque épreuve ne pouvant donner que deux résultats possibles.

la loi de probabilité suivie par la somme de n variables de Bernoulli où la probabilité associée au succès est p, est la loi binomiale de paramètres n et p B(n,p) .

La probabilité que Sn = k, c’est à dire l’obtention de k succès au cours de n épreuves indépendantes est :

P(k) = C(k,n) p^k q^{n - k}

4.2. Espérance et variance d'une loi binomiale

E(Sn) = E(X1 + X2 +…+ Xi + ...+ Xn) = Σ E(Xi) = n E(Xi) = np

E(Sn) = np

V(Sn) = V(X1 + X2 +…+ Xi + ...+ Xn) = Σ V(Xi) = npq

V(Sn) = npq

Propriété

Si Sn et Sm sont deux variables indépendantes suivant des lois binomiales B(n,p) et B(m,p) respectivement, alors Sn + Sm suit la loi binomiale B(n + m,p)

4.3. Loi binomiale négative

Dans une loi binomiale négative, le nombre de succès n est connu et l’on cherche le nombre d’épreuves k, nécessaire pour obtenir ces n succès.

Le dernier évènement est connu car les épreuves cessent avec l’obtention du nième succès et l’on choisit n-1 objets parmi k-1.

la variable aléatoire discrète X qui représente le nombre d’épreuves indépendantes k nécessaire à l’obtention des n succès suit une loi binomiale négative BN(n,p):

P(X = k) = C(k - 1,n - 1) pⁿ q^{k - n}
k et n ≥ 0 et k ≥ n.

Son espérance est E(X) = n/p et
sa variance est V(X) = nq/p²

5. Loi de Poisson

5.1. Définition

La loi de Poisson est utile lorsque la probabilité p est très faible (p < 0,05).

C'est la limite de la loi binomiale pour n grand.

Son comportement asymptotique s'ecrit:

si n → ∞ et p → 0, alors X : B(n,p) → P(λ) avec np → λ

Cette approximation est correcte si n ≥ 50 et np ≤ 5.

Une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ (l λ 0) si ses probabilités satisfont la relation:

p(k) = P(X = k) = λ^k e^{- λ}/k!

On ecrit: X → P(λ).

5.2. Espérance et variance d'une loi de poisson

Espérance:

Les valeurs prises par la v.a. X sont les k, avec leur probabilité respective p_k = λ^k e^{- λ}/k! .

E(X) = Σ k p_k = e^{- λ} Σ k λ^k/k! =

λe^{- λ} Σ λ^{(k - 1)}/(k - 1)! λe^{- λ} e^{- λ} = λ

Variance:

V(X) = Σ k² p_k - [E(X)]² = Σ k² λ^k e^{- λ}/k! - λ²

e^{- λ}Σ k² λ^k/k! - λ²

On pose k² = k + k(k - 1)

= e^{- λ}Σ kλ^k/k! + e^{- λ}Σk(k - 1) λ^k/k! - λ² =

e^{- λ} λ + e^{- λ}Σ(k - 1) λ^k/(k - 1)! - λ² = e^{- λ} e ^λ λ² + λe^{- λ}e^λ - λ² = λ

Propriété:

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson respectivement P(λ) et P(μ) alors X + Y suit P (λ + μ)

6. Loi géométrique

Lorsque le nombre de succès n est égal à 1, la loi de la variable aléatoire discrète X porte le nom de loi de Pascal ou loi géométrique de paramètre p telle que :

P(X = k) = p q^k-1 avec k > 0.

Son espérance est : E(X) = 1/p

Sa variance est V(X) = q/p²

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