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Statistiques







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Mathématiques 2: Statistiques :
Théorème central-limite




On rappelle qu'en théorie des probabilités, une variable aléatoire est une application définie sur l'ensemble des éventualités, c'est-à-dire l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire.



1. Théorème central-limite (TCL)


Le TCL énonce que les moyennes des moyennes d'un grand nombre d'échantillons suivent une loi normale, même si ces échantillons suivent individuellement une autre loi de probabilité.

En statistique inférentielle, ce théorème qui permet le calcul des intervalles de confiance autour des estimateurs.



2. Expression formelle du TCL


Soit une suite de variables aléatoires X1, X2, …, Xs indépendantes et de même loi, c'est à dire de même espérance m et de même écart-type σ.

Soit la moyenne des variables aléatoires Xi.

On recalcule cette moyenne 1, 2, ou 3, ... , ou n fois. À chaque fois, on note la moyenne Yn. On obtient une nouvelle série statistique, constituée des moyennes observées à chaque fois.

Soit Y la variable aléatoire «moyenne» . Sa valeur, moyenne des moyennes, converge en loi, lorsque n est grand, vers la loi normale centrée réduite N(0,1):




On peut dire donc:

La moyenne d'un gros échantillon aléatoire suit la loi normale.




Remarque: La moyenne des moyennes, la variable aléatoire, Yn peut bien prendre les formes suivantes:




3. Cas général du TCL


En fait, c'est Y qui est la loi normale, mais on pratique, on admet qu'à compter d'un échantillon de 30 moyennes la loi normale peut être utilisée. Lorsqu'il y a des valeurs aberrantes, ou les distributions asymétriques, on retient plutôt un minimum de 50.

Remarque: La variable aléatoire Yn peut bien s'ecrire sans le radical √n et suivre donc la loi normale N(0,√n):




Soit une suite de variables aléatoires indépendantes X1, X2, …, Xn, avec E(Xi) = νi et V(Xi) = σi2, pour i = 1,2,3, ..., n.

Pour n grand, on a:









  


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