Mathématiques 2: Statistiques:
Statistiques à deux variables
Regression quadratique

1. Régression quadratique

La régression quadratique est l'équation quadratique d'une parabole formée à partir d'un nuage de points statistique.

Comme pour une régression linéaire, on forme une équation affine y = a x + b; ici on forme une equation quadratique de la forme:

y = a x² + b x + c .

En utilisant la méthode des moindres carrés, on determine les coefficients a, b, et c.

La fonction S à minimiser est égale à :

S = (yi - axi² - bxi - c)²

En résolvant le système d'équations:

∂S/∂a = 0 , ∂S/∂b = 0, et ∂S/∂c = 0,

on trouve l'équation matricielle suivante:

$\begin{align}\large\color{brown}{ \begin{vmatrix} \sum_{i=1}^n { x_i}^4 & \sum_{i=1}^n { x_i}^3 & \sum_{i=1}^n { x_i}^2 \\ \sum_{i=1}^n { x_i}^3 & \sum_{i=1}^n { x_i}^2 & \sum_{i=1}^n { x_i} \\ \sum_{i=1}^n { x_i}^2 & \sum_{i=1}^n { x_i} & n \end{vmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^n { x_i}^2 {y_i} \\ \sum_{i=1}^n { x_i} {y_i} \\ \sum_{i=1}^n { y_i} \end{bmatrix} } \end{align}$

où n est le nombre de points de données (xi, yi) du nuage de points.

Si la matrice trois-trois est inversible, alors il existe un ensemble unique de valeurs pour a, b et c qui minimise la fonction S.

2. Coefficient de corrélation r

$\bf\large\color{brown}{ sse = \sum_{i=1}^n {(y_i - a x_i^2 - b x_i - c)^2}} \\ \text { }\\ \bf\large\color{brown}{ sst = \sum_{i=1}^n {(y_i - \bar{y})^2}} \\ \text { }\\ \bf\large\color{green}{ r = \sqrt{1 - \frac{sse}{sst}}}\\$