Mathématiques 2: Statistiques :
Test T de Student

Le Test T de Student est utilisé pour comparer les moyennes de deux distributions de probabilités réalisées sur deux échatillons provenant d'une même population normale ou approximativement normale.

Le principe est de décider si la différence entre les moyennes observées des deux échantillons de comparaison est due à la variable indépendante (caractère) testée ou si elle peut être considérée comme l'effet du hasard.

1. Conditions d'application

Les échantillons de la population à étudier doivent satisfaire trois conditions:

a) Les tailles des échantillons doivent pas être très différentes,

b) La distribution des probabilités de chaque échantillon ne doit pas être très différente de la normale. Donc pas être trop dissymétrique, surtout si les tailles des échantillons sont petits (< 30).

c) Les variances des échantillons ne doivent pas être très différentes.

2. Hypothèses

Les deux hypothèses H0 et H1 à faire sont les suivantes:

a) H0: μ1 = μ2

Les deux échatillons ou groupes de comparaison possèdent des moyennes identiques.

b) H1: μ1 ≠ μ2
(hypothèse bilatérale)

ou μ1 < μ2 ou μ1 > μ2
(hypothèses unilatérales ou dirigées)

3. Fixer les valeurs des tendances

On fixe les valeurs suivantes:

&mmu;1 la moyenne, V1 la variance, et n1 la taille du premier échantillon.

&mmu;2 la moyenne, V2 la variance, et n2 la taille du deuxième échantillon.

On définit la variance commune Vc comme la moyenne des deux variances (V1 et V2) pondérée par le nombre de degré de liberté dll. Elle est ecrite sous la forme:

Vc = (Σ(x1i - μ1)² + Σ(x2i - μ2)²)/(n1 + n2 - 2)

x1i et x2i est la même variable aléatoire sur la quelle on veut faire une comparaison.

dll = n1 + n2 - 2 est le nombre de degré de liberté relatif aux deux echantillons.

Sous forme simple, cette formule s'ecrit:

Vc = ((n1 - 1)V1 + (n2 - 1)V2)/(n1 + n2 - 2)

4. Le paramètre t de Student

Il faut distinguer deux cas. Le cas de deux échantillons indépendants et le cas de deux échantillons dépendants ou appareillés.

a) Pour les échantillons indépendants, le paramètre t s'ecrit:

t = (μ1 - μ2)/[Vc(1/n1 - 1/n2)]^1/2

b) Pour les échantillons dépendants, le paramètre t s'ecrit:

t = |μ1 - μ2|/(σd/√n) = md/(σd/√n)

md est la moyenne des différences,
σd est l'écart-type de la distribution des différences, et
n est la taille du même échantillon.

Pour prendre une décision, on applique la règle suivante:

on calcule la valeur de t puis on la compare à sa valeur tabulée (ou donnée par un logiciel) correspondante, relativement au dll = n1 + n2 -2 du problème posé, et à un seuil choisi de 5%. La différense est significative si t calculé est plus grand ou égal au t tabulé (critique).

5. Cas de deux échantillons indépendants

On relève deux series de mesures effectuées sur deux echantillons différents d'une même population.

Les éléments de la première série de mesure et ceux de la deuxième n'ont aucune correspondance entre eux.

Ici, le but de l'application du test t est de voir si les deux moyennes calculées sur les deux échantillons diffèrent significativement.

6. Cas de deux échantillons dépendants

Lorsqu'il ya une relation ou une correspondance entre les deux séries de mesures effectuées sur les deux échantions, ou particulièrement lorsque les deux séries de mesures sont effectuées sur un même échantillon, les échantillons sont dits dépendants ou appareillés.