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Mathématiques 2: Statistiques :
Variance et écart-type
La variance et l'écart-type sont les mesures de dispersion
les plus couramment utilisées.
La variance exprime la dispersion autour de la moyenne.
1. Variance
1.1. Définition
La mesure de l'étendue nous renseigne sur la dispersion
globale de la série statistique; c'est à dire la différence
entre la plus grande valeur de la série et la plus petite.
La variance d'une variable caractère mets en jeu
tous les caratères à l'intérieur de l'ensemble de données afin
d'obtenir une mesure plus précise de la dispersion.
La variance est symbolisée par S2.
La variance est la mesure du degré de dispersion d'un ensemble
de données. Elle est égale à la moyenne des carrés des écarts entre
chaque caractère et la moyenne de la série statistique.
Pour une série statistique avec n caractères x
(observations), de moyenne m, on a:
S2 = Σ(x - m)2/n
Pour une série statistique avec effectifs différents
de n caractères x (observations), et de moyenne m,
il faut pondérer la moyenne et la variance.
et l'on a:
S2 = Σ((x - m)2f)/n
1.2 Exemples
1.2.1. Exemple 1 : Effectif unitaire
On note les températures des 7 jours de la semaine (Lu, Ma, Mr, Je, Ve, Sa, Di).
Le tableau suivant représente les valeurs "températures du jour".
| jour | Lu | Ma | Me | Je | Ve | Sa | Di |
sa température en °C
x | + 6 | 0 | + 7 | + 23 |
+ 9 | - 1 | 0 |
écarts
x - m | 0.28 | - 6.28 | + 1.28 | 16.72 |
2.72 | - 7.28 | - 6.28 |
carré des écarts
(x - m)2 | 0.08 | 39.44 | 1.64 | 279.56 |
7.40 | 52.99 | 39.44 |
La moyenne des températures est égale à
M = ((+6) + (0) + (+7) + (+23) + (+9) + (-1) + (0))/7 = 44/7 = 6.28
La variance S2 =
(0.0784 + 39.4384 + 1.6384 + 279.5584 + 7.3984 + 52.9984 + 39.4384)/7 =
420.55/7 = 60.078.
1.2.2. Exemple 2: Effectifs différents
Un boîte contient 80 oranges. On veut peser ces oranges
et calculer leur masse moyenne. Voici les
résultats obtenus sous forme d'une série statistique:
| masse d'une orage (g) |
190 | 195 | 198 | 200 | 203 | 205 | 210 | 212 |
| son effectif |
7 | 8 | 15 | 20 | 12 | 9 | 6 | 3 |
| écarts |
- 10.46 | - 5.46 | - 2.46 | - 0.46 | 2.54 | 4.54 | 9.54 |
11.54 |
| carré des écarts |
109.41 | 29.84 | 6.06 | 0.21 | 6.44 | 20.59 | 91.01 |
133.11 |
| carré des écarts pondérés |
765.88 | 238.71 | 90.96 | 4.28 | 77.27 | 185.30 | 546.06 |
399.34 |
La moyenne pondérée est égale à:
m = (( 190 x 7) + (195 x 8) + ( 198 x 15) + (200 x 20) + (203 x 12)
+ (205 x 9) + (210 x 6) + (212 x 3) )/80 =
(1330 + 1560 + 2970 + 4000 + 2436
+ 1845 + 1260 + 636 )/80 = 16037/80 = 200.4625
La moyenne pondérée est égale à 200.4625 g.
La variance pondérée est égale à S2 =
109.4116 x 7 + 29.8389 x 8 + 6.0639 x 15 + 0.2139 x 20 + 6.4389 x 12 + 20.5889 x 9 + 91.010 x 6 + 133.1139 x 3 =
= 2307.796/80 = 28.847
Variance S2 = 28.847.
2. Écart-type
2.1. Définition
L'écart-type es égal à la racine carrée de la variance.
Il est symbolisée par S.
lorsqu'on utilise la moyenne pour une tendance centrale, on utilise
l'écart-type pour meurer la dispersion de la série statistique.
L'écart-type mesure la dispersion autour de la moyenne.
Comme l'écart-type met en jeu tous les caractères de la série statistique,
il est sensible aux caractères aberrants d'une série satistique.
Dans une représentation graphique, l'écart-type renseigne
clairement sur la distribution d'une série statistique.
Dans le cas d'une distribution normale, environ:
68 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle [- S, + S]
95 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle [- 2S, +2S]
99 % des données se situent à l'intérieur de l'intervalle [- 3S, + 3S].
Pour une série statistique avec n caractères x
(observations), de moyenne m, on a:
S = [Σ(x - m)2/n]1/2
Pour une série statistique avec des effectifs:
S = [Σ(x - m)2f/n]1/2
2.2. Exemple
Pour l'exemple précédent:
La vriance est S2 = 28.847. Donc
l'écart-type est S = [28.847]1/2 = 5.370.
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