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Statistiques







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Mathématiques statistiques
Test de Lilliefors




1. Définitions


Le test de Kolmogorov-Smirnov est un test d'hypothèse non paramétrique. Il est utilisé pour comparer des fonctions de répartition. Ce test est un test d'ajustement, c'est à dire il vise à vérifier si les données observées sont compatibles avec un modèle théorique donné.

Le test de Kolmogorov-Smirnov est aussi un test de normalité. C'est à dire un test pour vérifier si une distribution de données est ou presque normale en prenant pour fonction de répartition théorique la gaussienne. Comme les tests de normalité sont des tests d'hypothèse, le test de Kolmogorov-Smirnov est un test d'hypothèses.

Ainsi, pour ce cas particulier où la fonction de répartition théorique est une gaussienne, on utilise plutôt le test de Lilliefors. Le test de Lilliefors est simplement le test de Kolmogorov-Smirnov adaptée pour la gaussiènne comme fonction de répartition théorique; surtout lorsque les effectifs sont faibles.



2. Le test de Lilliefors

Le test de Lilliefors est utlisé pour décider d'une population statistique si elle est normale ou pas.

Il s'agit donc, pour une série statistique, de calculer sa moyenne μ et son ecart-type σ, et puis de tester si N(μ σ) est gaussienne. En d'autres termes, on teste si la distribution empirique de la population à étudier est compatible avec la loi normale.



3. Exemple

On fait un jus d'orange. Sur 20 oranges utilisées, on a le tableau suivant:



jus (mL)704565 55 50 40 60
effectifs2 35 3 2 1 4


Question:

La distribution observée des jus d'oranges d'une population d'oranges est-elle compatible avec la loi normale?

Réponse:

Dans le logiciel: Distribution de la loi normale,
Entrer les valeurs des caractères et les effectifs suivants:

70,45,65,55,50,40,60
2,3,5,3,2,1,4

On obtient:



Caracteres: 70   45   65   55   50   40   60   

taille = 7 

effectifs: 2   3   5   3   2   1   4   

Serie rangee:
40   45   50   55   60   65   70   


Effectif total = 20

Moyenne µ = 57.25
Mediane Md = 55
Variance s2 = 80.197
Ecart-type s = 8.955


Frequences cumules: 
0.05 
0.2 
0.3 
0.45 
0.65 
0.9 
1 


Probabilites: 

P(X = 40) = P(Z = -1.926) = 0.027
P(X = 45) = P(Z = -1.368) = 0.086
P(X = 50) = P(Z = -0.81) = 0.209
P(X = 55) = P(Z = -0.251) = 0.401
P(X = 60) = P(Z = 0.307) = 0.621
P(X = 65) = P(Z = 0.865) = 0.806
P(X = 70) = P(Z = 1.424) = 0.923


Ecarts absolus

0.023
0.114
0.091
0.049
0.029
0.094
0.077


Plus grande difference absolue Dobs = 0.114

Le logiciel Lilliefors Calculateur donne l'écart
critique Dcritique .

L'ecart de Lilliefors pour n = 20 et pour un risque d'erreur de a = 0.05 est egal a: 0.193


Décision: Puisque Dobs = 0.114 < Dcritique = 0.193, la distribution observée suit une loi normale et celà à un niveau d'erreur de 5%.

Conclusion: Les données sont normallement distribuées, avec 95% de niveau de confience.



Lilliefors Calculator

Lilliefors Test
Calculateur


Entrer N puis α

N
alpha
 
Result:










  


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