Mathématiques: Statistiques
Tests non paramétriques
Test U de Mann–Whitney

1. Définitions

Une variable indépendante est une variable qui n'a pas de relation avec une autre variable. Sa réalisation ou sa mesure n'affecte pas ou n'est pas affectée par celle de l'autre. Lancer un dé cubique une deuxième fois n'as aucune relation avec le premier lancer. L'un se réalise comme si l'autre n'existe pas.

Une variable nominale, est une variable de type qualitatif. Les statistques faites sur les sujets considèrent la qualité comme la couleur, le genre, le style, ...

Une variable ordinale est une variable qui permet un ordre de classement: 1er, 2e, 3e, 4e, etc. Ce classement permet de trier les données qui sont des scores. Les rangs représentent des variables ordinales.

La variable des données ou des scores à trier est dite dichotomiques si la valeur de cette variable est franche et ne peut prendre que deux valeurs comme le oui/non, chaud/froid, vrai/faux, ... . C'est une variable à à deux modalités.
Elle est dite non-dichotomiques si les scores sont réparties en un éventail de valeurs, comme par exemple: excellet, tès bie, bien, passable, médiocre lorsqu'on veut mesurer une performance.

le score, c'est le nombre de points obtenus à une expérience.

2. Le test de Mann-Whitney

le test de Mann-Whitney est l'alternative non paramétrique de t de Student pour deux échantillons indépendants.

Lorsque la distribution des valeurs ne suit pas une loi normale, donc dissymétrique, le test t de student ne s'applique pas; il faut utiliser plutôt le test de Mann-Whitney.

Le test de Wilcoxon est utilisé dans le cas de la comparaison de deux échantillons appariés, comme comparer deux situations avant/après d'un même échatillon. Dans le cas de la comparaison de deux échantillons indépendants, le test de Wilcoxon est équivalent au test de Mann-Whitney.

Le test U de Mann-Whitney peut être utilisé pour tester si deux groupes indépendants ont été tirés de la même population.

Ce test est surtout utilisé pour étudier si une variable indépendante nominale dichotomique influence une variable dépendante ordinale de scores.

C'est la variable indépendante nominale dichotomique qui scinde les données en deux échantillons ou deux groupes.

3. Le principe du test

Pour deux séries statistiques de données de chacun des deux groupes, on procède de la façon suivante:

1. On range les scores

- Mélanger les scores de deux groupes A et B,
- Ordonner la série obtenue en ordre croissant,
- Accorder des rangs; pour les ex-æquo attribuer à chacun le rang moyen ,
- Reconstruire les deux groupes de données avec leurs rangs correspondants

2. On calculer la somme des rangs Sa de A et la somme des rangs Sb de B.

3. On calcule les deux paramètres de Mann et Whitney fonction des sommes Sa et Sb et des nombres de scores Na et Nb respectivement des groupes A et B. On prend ensuite le minimum de ces deux paramètres:

Ua = Na x Nb + Sa x Na(Na + 1)/2
Ub = Na x Nb + Sb x Nb(Nb + 1)/2
U = min(Ua,Ub)

3.1. Na et Nb sont inférieurs à 8:

Dans le cas les distributions de Ua et Ub ne sont pas normales.

On se réfère aux tables de valeurs critiques U de Mann-Whitney.

Cette table est consultée en fonction de l'effectif le plus petit N1.On lit la valeur de la probabilité correspondant à la somme S2 la plus grande des Sa et Sb.

Ainsi on accèpte l'hypothèse nulle selon le seuil de risque α choisi égal à 5%.

Si la valeur Uo calculée est plus petite que la valeur Uc critique, l'hypothèse nulle (H0) est rejetée, et l'hypothèse alternative (H1) est accéptée au risque de 5%.

3.2. Na et Nb sont supérieurs à 8:

Dans le cas les variables Ua et Ub se bistribuent approximativement selon la loi gaussienne (normale).

Donc pour cette distribution de U:

. La moyenne est

μ = Na x Nb/2, et

. L'écart-type est

σ = √(Na x Nb x (Na + Nb + 1)/12)

On teste donc l'écart entre U et μ

Z = |U - μ|/σ

On vérifie donc la signification de la valeur Z:

- À P = 0.05, si Z calculé est supérieur ou égal à 1,96; la différence entre les moyennes des rangs est significative.

- À P = 0.01, si Z calculé est supérieur ou égal à 2,56; la différence entre les moyennes des rangs est significative.

Table des valeurs critiques de Mann Whitney:

N1 est la plus petite taille et N2 la plus grande taille des deux
échantillons indépendants scindés par une dichotomie.