Mathématiques 2: Statistiques
Espérance et Variance

1. Loi de probabilité

Une loi de probabilité associe une probabilité à chaque valeur de la variable aléatoire.

X_i → P_i

La variable aléatoire peut être discrète ou continue lorsque ses valeurs se trouvent dans un ensemble de valeurs ou intervalles.

La variable aléatoire utile en statistiques est la fonction qui donne les valeurs centrales comme la moyenne, la médiane ou le mode, les dispersions comme la variance ou l’écart-type et les formes de dispersion comme les fréquences absolues, relatives ou cumulées.

2. Espérance mathématique

L’espérance d’une variable aléatoire X, notée E(X) correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités qui sont associées à ces valeurs.

L’espérance est un paramètre de position qui correspond au moment d’ordre 1 de la variable aléatoire X. C’est l’équivalent de la moyenne arithmétique x̄ .

Lorsque le nombre d’épreuves N devient grand, x̄ tend vers E(X) .

2.1. Variables aléatoires discrètes

Si X est une variable aléatoire discrète définie sur un univers probabilisé Ω, on appelle espérance de X, le nombre réel défini par :

E(X) = Σ X(ω)P(ω) , avec ω Ω

L’espérance mathématique est également notée μ(X), μ_XX ou encore μ.

On donne une autre définition de l’espérance d’une variable aléatoire discrète X:

À ω Ω, on associe l’image x de ω telle que X(ω) = x et P(x) = p.

Si X est une variable aléatoire discrète de loi de probabilité (xi, pi) définit sur un nombre fini N d’évènements élémentaires alors :

E(X) = Σ x_ip_i
i: 1 → N.

2.2. Variables aléatoires continues

Si X est une variable aléatoire absolument continue de densité de probabilité ƒ, on appelle espérance de X, le réel E(X) , défini par:

E(X) = ∫ x ƒ(x)dx
x: - ∞ → + ∞

Cette intégrale doit être convergente.

2.3. Propriétés de l’espérance

Les propriétés de l’espérance restent valables pour une variable aléatoire discrète ou une variable aléatoire absolument continue.

Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur un même univers Ω, admettant une espérance, alors :

(P1): E(X + Y) = E(X) + E(Y)
(P2): E(aX) = aE(X) a R
(P3): Si X ≥ 0 alors E(X) ≥ 0
(P4): Si X est un caractère constant tel que : ω Ω   X (ω) = k
alors E(X) = k

On démontre ces propriétés dans le cas de deux variables aléatoires discrètes avec pi, la probabilité (équiprobabilité) de réalisation de {X = xi} et {Y = yi} et N évènements élémentaires.

(P1): E(X + Y) = Σ (x_ip_i + y_ip_i) = Σ x_ip_i + Σ y_ip_i = E(X) + E(Y)
(P2): E(aX) = Σ (ax_ip_i ) = a Σ x_ip_i = a E(X)
(P3): X ≥ 0 veut dire tous les x_i sont positifs ou ω Ω   X (w) ≥ 0.
Comme une probabilité p_i est toujours positive; celà implique E(X) ≥ 0.
(P4): E(X)= Σ kp_i = k Σ p_i = k; puisque Σ p_i = 1.

3. Variance

La variance V(X) d’une variable aléatoire X est l’espérance mathématique du carré de l’écart de X à son espérance mathématique.

C’est un paramètre de dispersion qui correspond au moment centré d’ordre 2 de la variable aléatoire X.

C’est l’équivalent de la variance observée S². Lorsque le nombre d’épreuves N est grand, S² tend vers V(X).

Si X est une variable aléatoire ayant une espérance E(X), on appelle variance de X le nombre réel :

V(X) = E([X - E(X)]²)

Avec une autre notation:

V(X) = E([X - E(X)]²) = E(X² – 2XE(X) + [E(X)]²) =
E(X²) – 2E[XE(X)] + E[[E(X)]²]

Avec la Propriété P1 de l’espérance, on a:

V(X) = E(X²) – 2[E(X)]² + E[[E(X)]²] = E(X²) – 2[E(X)]² + E[[E(X)]²]

Avec la Propriété P4 de l’espérance
([E(X)]² est constant), on a:

V(X) = E(X²) – 2[E(X)]² + [E(X)]² = E(X²) – [E(X)]²

V(X) = E(X²) – [E(X)]²

Une variance est toujours positive. La variance est également notée σ².

Si X est une variable aléatoire ayant une variance V(X), on appelle écart-type de X, le réel racine carrée de la variance:

σ(X) = √[V(X)]

3. 1. Variables aléatoires discrètes

Si X est une variable aléatoire discrète de loi de probabilité (xi, pi) définie sur un nombre fini N d’évènements élémentaires, alors la variance est égale à :

V(X) = E(X²) – [E(X)]² = Σ _i:1^N x_i²p_i – [Σ _i:1^N x_ip_i]²

V(X) = Σ _i:1^N x_i²p_i – [Σ _i:1^N x_ip_i]²

3.2. Variables aléatoires continues

Si X est une variable aléatoire continue donnée par sa densité de probabilité ƒ alors la variance de X est le nombre réel positif tel que :

V(X) = ∫ (x - E(X))² f(x) dx = ∫ x²f(x) dx - (E(X))²)
x: - ∞ → +∞.

3.3. Propriétés de la variance

Si X est une variable aléatoire admettant une variance alors :

(P1)   a R, V(aX) = a² V (X)
(P2)   a, b R, V(aX + b) = a² V (X)
(P3)     V(X) = 0 X = E(X)