Mathématiques 45: Algèbre vectorielle:
Décomposition d'un vecteur
Combinaison linéaire de vecteurs
Base vectorielle

1. Combinaison linéaire de vecteurs

La somme de deux vecteurs donne un vecteur résultant. Réciproquement, un vecteur est décomposable en deux autres vecteurs.



En pratique, sur un plan, on décompose un vecteur en deux autres vecteurs; et dans l'espace, on décompose un vecteur en trois autres.

À leur tour, les vecteurs obtenus par décomposition, peuvent s'ecrire sous forme d'un produit d'un scalaire et d'un vecteur:
= k1 et = k2

Ainsi
= k1 + k2

Cette ecriture est appelée combinaison linéaire des vecteurs et .


Une combinaison linéaire permet donc de construire un vecteur résultant en partant des vecteus connus et .

Les facteurs k1 et k2 sont appelés les coefficients de la combinaison.

2. Base vectorielle

Deux vecteurs, à partir desquels, on peut former un autre vecteur, constituent une base vectorielle.

Ces deux vecteurs doivent évidemment être linéairement indépendants, c'est à dire non égaux et non parallèles.

La base vectorielle la plus simple est la plus utilsée et la base orthonormée. Elle est em même temps normée et orthogonale.

La base {,} est normée si ses vecteurs sont normés; c'est à dire leur norme égale à 1 :

|||| = |||| = 1

Elle est orthogonale si ses vecteurs sont orthogonaux; c'est à dire leur produit scalaire est nul:

• = 0.

Un système d'axes appelé repère est orthonormé s'il est muni d'une base orthonormée.

Voici un repère orthonormé à 3 dimensions: