Mathématiques 45: Algèbre vectorielle:
Opérations sur les vecteurs
Produit scalaire de deux vecteurs

1. Définitions

Un vecteur peut être multiplié par un autre vecteur.

Ce produit s'appelle le produit scalaire de ces deux vecteurs. On le note par un point •.
Le produit scalaire du vecteur par le vecteur s'ecrit: •

L'opération produit scalaire ou a multiplication scalaire de vecteurs n'est pas la même que la multiplication habituelle des nombres réels. Elle est différente. On la définit de deux manières:

1.1. Méthode algébrique

1.1.1. La formule

On utilise la méthode algébrique lorsqu'on connait les composantes des vecteurs.

Dans le plan cartésien, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes respectives.

Si (a1, b1),(a2, b2) alors

• = a1a2 + b1b2

Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire .

1.1.2. Exemple

(- 2, + 3), (+ 1, + 4)

• = (- 2)(+ 1) + (+ 3)(+ 4) = - 2 + 12 = + 10.

1.2. Méthode géométrique

1.2.1. La formule

On utilise la méthode géométrique lorsqu'on connait pas les composantes des vecteurs.

Dans le plan cartésien,

le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes et du cosinus de l'angle formé par ses deux vecteurs..

Si θ est l'angle formé par les vecteurs et,

• = |||||||| cos θ

Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire .

1.2.2. Exemple

(- 2, + 3),

(+ 5, + 2)

Algébriquement:

• = (- 2)(+ 5) + (+ 3)(+ 2) = - 10 + 6 = - 4.

Géométriquement:

• = |||||||| cos θ

Les normes respectives des deux vecteurs sont:

|||| = √[(+ 5)² + (+ 2)²] = √29,

|||| = √[(- 2)² + (+ 3)²] = √13.

θ = 102° , donc cos θ = - 0.208

Ainsi:

• = (√29) (√13) (- 0.208) = - 4

2. Projection d'un vecteur sur une droite

On considère deux vecteurs etfaisant un angle θ entre eux, de supports respectifs (D1) et (D2).

À partir du sommet du vecteur , on dresse la perpendiculaire (H) au support de .

Cette perpendiculaire (H) coupe le support (D2) en l'extrémité du vecteur .

Le vecteur est la projection orthogonale du vecteur sur la droite (D2), ou la projection orthogonale de sur .

Le vecteur est colinéaire au vecteur .

La définition du cosinus d'un angle permet d'ecrire:

cos θ = ||||/||||

D'où

|||| = |||| cos θ

En substituant cette relation dans la formule du produit scalaire, on obtient:

• = ||||||||

3. Vecteurs orthogonaux

Un vecteur est orthogonal à un autre s'ils forment un angle droit entre eux.

Si l'angle formé par deux vecturs est droit, alors son cosinus est nul (cos 90° = 0) et donc le produit scalaire des deux vecteurs est nul.

En effet, si l'angle θ formé par les vecteurs et est égal à 90° cela implique cos θ = 0, et donc
• = |||||||| x 0 = 0;

☛ ⊥ • = 0

4. Utilisation des vecteurs

Les vecteurs sont très utile en Physique.

Ils représentent les forces, les vitesses, les déplacements, les accélérations, les champs,...

Le produit scalaire est utilisé pour calculer le travail d'une force, le flux d'un champ, ...
On se souviendra que le travail d'une force qui s'exerce sur un corps le faisant déplacer de est égal au scalaire W = • = |||| |||| cos θ .
|||| en Newton (N), |||| en mètre (m), et W en Joules (J).