Mathématiques 45: Algèbre
Vecteurs
Droite dans un plan

1. Vecteur directeur d'une droite

$$\begin{gather}La forme\; générale\; de\; l'équation\; d'une\; droite (D)\\ sur\; un \;plan \;cartésien \;est: \end{gather} \\ \\ \\ \color{green}{\text{Ax + By + C = 0}}$$ $\text{Soient deux points A et B sur la droite (D)} \\ A \; \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1\\ \end{bmatrix} \; et \; B\; \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2\\ \end{bmatrix} \\ \text{ } \\ \text{Le point A appartient à la droite (D). Donc } \; Ax_1 + By_1 + C = 0. \\ \text{Le point B appartient à la droite (D). Donc }\; Ax_2 + By_2 + C = 0 . \\ \text{ } \\ \text{On obtient donc le système suivant:} \\ \text{ } \\ \cases{ Ax_1 + By_1 + C = 0 \;\; (1) \cr Ax_2 + By_2 + C = 0 \;\; (2) } \\ \text{ } \\ \text{Retranchons (1) de (2), on obtient:} \\ A(x_2 - x_1) + B(y_2 - y_1) = 0 \\ \text{ } \\ \text{C'est à dire} \\ B(y_2 - y_1) = - A(x_2 - x_1) \\ \text{ou} \\ \text{ } \\ \color{blue}{\LARGE \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = - \frac A B } \\ \text{ } \\ \text{Cette équation est vérifiée si:} \\ \text{ } \\ x_2 - x_1 = B \text { et } \\ y_2 - y_1 = - A \\ \text{ } \\ \text { ou} \\ x_2 - x_1 = - B \text { et } \\ y_2 - y_1 = + A \\ \text{ } \\ \text{Les composantes du veteur } \; \vec{\mathbf{AB} } \text{ sont telles que} \\ \text{ } \\ \vec{\mathbf{AB}} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 = + B \\ y_2 - y_1 = - A \\ \end{bmatrix} \\ \text{ } \\ \text { ou } \\ \\ \text{ } \\ \vec{\mathbf{AB}} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 = - B\\ y_2 - y_1 =+ A \\ \end{bmatrix} \\ \text{ } \\ \text{ } \\ \color{brown}{\text{Le vecteur directeur de la droite (D) d'équation Ax + By + C = 0 }} \\ \color{brown}{\text{ est le vecteur } } \color{brown}{\vec{\mathbf{AB}}} \color{brown}{\text{ de composantes (B, - A) ou (- B, A) }} \\ \text{ } \\ \color{green}{\vec{\mathbf{AB} } \begin{bmatrix} B\\ - A \\ \end{bmatrix} } \;\; \text { ou } \;\; \color{green}{ \vec{\mathbf{AB} } \begin{bmatrix} - B\\ A \\ \end{bmatrix} }$

2. Exemple

Le vecteur directeur de la droite d'équation

2x - 3 y + 4 = 0

a pour composantes (3, 2) ou (- 3, - 2).

$\color{brown}{\vec{\mathbf{AB} } \begin{bmatrix} 3\\ 2 \\ \end{bmatrix} } \;\; \text { ou } \;\; \color{brown}{ \vec{\mathbf{AB} } \begin{bmatrix} - 3\\ - 2 \\ \end{bmatrix} }$

3. Vecteur normal d'une droite

Le vecteur normal d'une droite est le vecteur qui lui est perpendiculaire. Donc normal à son vecteur directeur.

On sait que si deux vecteurs sont orthogonaux alors leur produit scalaire est nul.

Soit (D) une droite d'Équation

Ax + By + C = 0

Si $\vec{\mathbf{D}}$ est le vecteur directeur de cette droite,
alors il a pour coordonnées (- B, A).

Si $\color{brown}{\vec{\mathbf{N} } \begin{bmatrix} n_1\\ n_2\\ \end{bmatrix} }$ est un vecteur nornal de cette droite,
alors $$\color{green}{\Large {\vec{\mathbf{D}} . \vec{\mathbf{N}} = 0}}$$
C'est à dire (n1)(- B) + (n2)(A) = 0 ou

n1 B = n2 A

n1 = A et n2 = B est une solution,
n1 = - A et n2 = - B est une solution.



$\color{brown}{\text{Le vecteur normal de la droite (D) d'équation Ax + By + C = 0 }} \\ \color{brown}{\text{ est le vecteur } } \color{brown}{\vec{\mathbf{N}}} \color{brown}{\text{ de composantes (A, B) ou (- A, - B) }} \\ \text{ } \\ \color{brown}{\vec{\mathbf{N} } \begin{bmatrix} A\\ B \\ \end{bmatrix} } \;\; \text { ou } \;\; \color{brown}{ \vec{\mathbf{N} } \begin{bmatrix} - A\\ - B \\ \end{bmatrix} }$

4. Exemple

Le vecteur normal de la droite d'équation

2x - 3 y + 4 = 0

a pour composantes (2, -3 ) ou (- 2, 3).

$\color{brown}{\vec{\mathbf{N} } \begin{bmatrix} 2\\ - 3 \\ \end{bmatrix} } \;\; \text { ou } \;\; \color{brown}{ \vec{\mathbf{N} } \begin{bmatrix} - 2\\ 3 \\ \end{bmatrix} }$