Maths
- 45 -
Les vecteurs
Partie 1
Partie 2
© The scientific sentence. 2013
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Mathématiques 45: Algèbre vectorielle:
Opérations sur les vecteurs
Multiplication d’un vecteur par un scalaire
1. Définitions
Un vecteur peut toujours être considéré comme
un objet ; un crayon
une orange, ou une tablette par exemple.
On peut donc dénombrer les vecteurs et compter
1, ou 2ou... n.
Plus généralement, on multiplie un scalaire k par un
vecteur.
Algébriquement, on a:
Si le vecteur a pour
compsantes a et b,(a,b),
alors:
k = k (a, b) = (ka, kb)
Le produit d'un vecteur par
un scalaire est un vecteur.
Si on multiplie un scalaire positif par un vecteur,
la grandeur du vecteur résultant change.
Si on multiplie un scalaire négatif par un vecteur,
la grandeur et le sens du vecteur résultant changent.
Le produit d'un scalaire par un vecteur donne un
vecteur colinéaire au vecteur initial.
Le produit d'un scalaire par un vecteur ne
change pas la direction du vecteur initial.
2. Exemple
Le vecteur  (- 4, + 3)
a pour composantes - 4 et + 3. Sa norme est égale
à |||| = √[(- 4)2 + (+ 3)2] = 5.
On multiplie ce vecteur par un scalaire (nombre réel)
k = + 2.5 , on obtient le vecteur
suivant:
 = k = (+ 2.5).(- 4, + 3) =
((+ 2.5) x (- 4), (+ 2.5) x (+ 3)) = (- 10, + 7.5)
(- 10, + 7.5)
La norme du vecteur est :
|||| = √[(- 10)2 + (+ 7.5)2] = 12.5
On trouve donc |||| = 2.5 x ||||
D'une façon générale,
||k|| = |k|||||
|k| représente la valeur absolue du scalaire k.
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