Maths - 45 -
Les vecteurs
Partie 1
Partie 2
© The scientific sentence. 2013
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Mathématiques 45: Algèbre vectorielle:
Vecteurs colinéaires
Droite d'Euler
Droite d'Euler
1) calculer les coordonnées des points A', B' et
C', milieux respectifs des côtés [BC], [AC], et [AB]
• Coordonnées du point A' :
A' milieu de[BC], donc A'((xB + xC)/2, (yB + yC)/2) =
((6 + 18)/2, (6 + 0)/2) = (12,3)
A'(12,3)
• Coordonnées du point B':
B' milieu de [AC], donc B'((xA + xC)/2, (yA + yC)/2) =
((0 + 18)/2, (0 + 0)/2) = (9,0)
B'(9,0)
• Coordonnées du point C':
C' milieu de [AB], donc C'((xA + xB)/2, (yA + yB)/2) =
((0 + 6)/2, (0 + 6)/2) = (3,3)
C'(3,3)
2) Calculer les coordonnées du centre G de gravité G du triangle.
On sait que = (2/3)
On a (xA' - xA, yA' - yA) = (12 - 0, 3 - 0) =
(12,3)
= (12,3)
D'où:
(2/3) = (2/3) (12,3) = ((2/3) x 12, 3 x (2/3)) = (8, 2)
= (8, 2)
Soient (xG, yG) les coordonnées que l'on
charche du point G.
Nous avons donc
(xG - xA, yG - yA) = (8,2). Donc
xG - xA = 8 et yG - yA = 2 .
xG = 8 + xA et yG = yA + 2
xG = 8 + 0 et yG = 0 + 2
G(8,2)
3) Calculer les coordonnées du centre O du cercle circonscrit au triangle ABC, qui est le point de rencontre des trois médiatrices du triangle.
On sait que OA = OB puisqu'ils représentent le rayon d'un
même cercle, qui est celui du cercle circonscrit au triangle.
Soient (xO,yO) les coordonnées du point O. La formule de la distance donne:
OA = dist(O,A) = √(xA - xO)2 + (yA - yO)2) =
√(0 - 9)2 + (0 - yO)2) = √(81 + yO2)
OB = dist(O,B) = √(xB - xO)2 + (yB - yO)2) =
√(6 - 9)2 + (6 - yO)2) = √(9 + (6 - yO)2)
= √(9 + 36 - 12 yO + yO2)
= √(45 - 12 yO + yO2).
Donc:
√(81 + yO2) = √(45 - 12 yO + yO2) -->
81 + yO2 = 45 - 12 yO + yO2
81 = 45 - 12 yO --> yO = (45 - 81)/12 = -36/12 = - 3
yO = - 3
Les coordonnées du point O sont donc :
O(9,- 3)
4) Calculer les coordonnées de l'orthocentre H du triangle ABC, qui est le point de rencontre des trois hauteurs du triangle.
On sait que les droites (OA') et (AH) sont parallèles, puisqu'elles sont
perpendiculaires à ume même troisième qui est la droite (BA').
Ainsi (OA') // (AH) --> les vecteurs et sont colinéaires. C'est à dire: = k
D'où:
xH - xA = k(xA' - xO)
yH - yA = k(yA' - yO)
xH - 0 = k(12 - 9)
yH - 0 = k(3 - (- 3))
xH = 3 k
yH = 6 k
L'abscisse xH du point H est la même que celle du point B, puisque la droite
(BH) est perpendiculaire à l'axe des x, donc parallèle à l'axe des y,
xH = xB = 6 .
Donc:
6 = 3 k --> k = 2
yH = 6 k --> yH = 6 x 2 = 12
yB = 12
Les coordonnées du point H sont donc :
H(6,12)
5) Montrer que les points O, B et H sont alignés.
On a :
(xG - xO, yG - yO) = (8 - 9,2 - (- 3)) = (- 1, 5)
= (- 1, 5)
(xH - xO, yH - yO) = (6 - 9,12 - (- 3)) = (- 3, 15)
= (- 3, 15)
On trouve (- 3, 15) = 3 x (- 1, 5). D'où:
= 3 x
Les vecteurs et sont donc colinéaires.
Il s'ensuit donc que les points O, G, et H sont alignés.
Les points O, G, et H sont alignés.
La droite qui supporte ces trois points est appelée
droite d'Euler.
Conclusion:
Dans un triangle scalène l'orthocentre H, le centre de gravité G et le centre du cercle circonscrit O sont alignés sur la droite d'Euler .
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