Mécanique
Chute libre avec frottements

Chute libre avec frottements

Nous allons étudier le corps qui chute dans le champ de pesanteur en considérant que les frottements de l’air ne sont pas négligeables, et que la poussée d'Archimède negligeable.

Les frottements peuvent être de deux types, linéaires ou quadratiques. Nous allons considérer le type linéaire.

L'equation du mouvement

Dans un repère galiléen à une dimension (0,z) dirigé vers le bas, l'objet de masse m est soumis à deux fores : le poids et les frottements . La deuxième formule de Newton s'ecrit:



La force de frottement peut aussi être nommée résistance de l’air. Vectoriellement, elle a pour expression:




Projetée sur l'axe (oz), elle s'ecrit avec f = k v:

m g - k v = m a

ou , avec a = dv/dt et τ = m/k:

dv/dt + v/τ = g

Telle est l'équation différentielle de la vitesse de l'objet en chutte libre avec frottement linéaire.

Une équation différentielle en v , linéaire du premier ordre à coefficients constants. On sait résoudre cette équation mathématiquement.

Une équation différentielle linéaire avec second membre se résout en deux temps : • on cherche d’abord la solution sh de l’équation homogène, c’est à dire l’équation sans second membre ; puis

• on cherche une solution particulière sp, c’est à dire une solution qui a même forme que le second membre (si le second membre est constant, la solution particulière recherchée sera une constante).

La solution de l’équation différentielle avec second membre est la somme de la solution homogène et de la solution particulière : s = sh + sp.

Dans la solution de l’équation homogène apparaissent souvent des constantes. La détermination de ces constantes se fait à l’aide des conditions initiales en tenant compte de la solution particulière.

Solution de l’équation homogène

Equation homogène :

dv/dt + v/τ = 0 a pour solution :

v = A exp {- t/τ}, A est une constante.

Solution particulière

Le second membre étant constant (égal à g), on cherche une solution particulière vp = cste. Alors dvp/dt = 0 et on obtient vp = gτ .

Solution globale

On a donc v = A exp {- t/τ} + gτ

On peut maintenant déterminer A à l’aide des conditions initiales : À t = 0 : v(t = 0) . Donc 0 = A + g gτ , et A = - gτ

et v = - gτ exp {- t/τ} + gτ

v = gτ(1 - exp {- t/τ} )

τ est un temps caractéristique de la fonction v = f(t).

Courbe:

L'expression de la vitesse en fonction du temps est :

Vitesse limite

La valeur de la vitesse limite peut être obtenue en calculant la limite de v(t) quand le temps tend vers l’infini, comme suit :

lim v(t) = g τ
t → + ∞


Temps caractéristique τ

La grandeur τ = m/k est caractéristique de l’évolution d e la vitesse dans le temps. Dans cetype d’évolution, on parle de régime transitoire et de régime permanent :

• le régime est transitoire tant que la vitesse évolue ;
• le régime est permanent lorsque la vitesse limite est atteinte.

Le temps τ est un bon indicateur pour savoir quand on passe d’un régime à l’autre : on considère qu’au bout de 5τ , le régime permanent est atteint.

Obtention de la position

La fonction z = f(t) s’obtient en intégrant la fonction v = f(t) :

v = gτ(1 - exp {- t/τ} )

z(t) = ∫ v dt = ∫ gτ(1 - exp {- t/τ} )dt =
gτ ∫ (1 - exp {- t/τ})dt =
v gτ (t + τ exp {- t/τ}) + cste

La constante est obtenue à l’aide de la condition initiale de position : À t = 0, z = 0 donc
gτ² + cste = 0 , donc cste = - gτ²
On a finalement :

z(t) = gτt + gτ² exp {- t/τ}) - gτ² =
gτ² (exp {- t/τ} - 1) + gτt

z(t) = gτ² (exp {- t/τ} - 1) + gτt



La position varie quasi linéairement par rapport au temps, c’est-à-dire qu’on a pratiquement z = a t + b. L’expression 1 − exp {- t/τ} est très petite et donc l’expression de z(t) tend vers : z(t) = g τ t