Physique 23 : Mécanique
la dynamique des fluides
Thérème de Bernoulli

La dynamique des fluides comporte l'hydrodynamique et l'aérodynamique. L'hydrodynamique a pour objet l'étude des liquides en mouvement. L'aérodynamique porte sur la compréhension et l'analyse des écoulements d'air.

1. Principe de conservation de l'énergie

L'énergie totale, dite mécanique Em, d'un système est égale à al somme de son énegie cinétique et son energie potentielle.

L'énergie cinétique Ec d'un corps de masse m et de vitesse v est égale à (1/2) m v².

L'énergie potentielle Ep d'un corps de masse m à une hauteur z de la ligne de référence est égale à m g z. La constante g est l'accélération de la pesanteur égale à 9.81 m/s².

Voici le principe:

L'énergie mécanique d'un système isolé se conserve: Em = Ec + Ep = constante

2. Corps dans vide ou dans la nature
où on néglige la resistance de l'air

Em = Ec + Ep = constante

(1/2) m v² + mg z = constante

2. Théorème de Bernouilli dans
un fluide incompressible comme l'eau

2.1. Définitions :

• L’ensemble des lignes de courant qui s'appuient sur un contour fermé forment un tube de courant.

• On dit qu'un écoulement est laminaire ou qu'un régime est régulier ou permanent ou stationnaire, si le fluide a une vitesse qui ne change pas au cours du temps; c'est à dire que la vitesse du fluide ne dépend que des coordonnées spatiales et non pas du temps.

• Un fluide est incompressible si , au cours d'une pression extérieure, sa masse volumique reste constante. C'est l'exemple d'un liquide.

• Lorsqu'un liquide n’est pas visqueux , on dit qu'il est parfait, c'est à dire dépourvu de frottement.

• La viscosité est la propriété de s'ecouler plus lentement.
Le miel ou le sirop sont plus visqueux que l'huile ou l'eau.

2.2. Hypothèses préalables :

Voici les 3 conditions requises pour utiliser la formule de Bernoulli:

• Le fluide est incompressible,
• L' écoulement est laminaire,
• Le fluide n'est pas visqueux .

L'équation de Bernoulli pour les fluides incompressibles peut être démontrée par application du principe de conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant, en négligeant les effets thermiques, de viscosité, et de compressibilité.

2.3 : Théorème de Bernouilli

On considère un tube de courant limité par deux sections droites S1 et S2. Le tube est assez petit pour que la vitesse et la pression soient les mêmes en chaque point d’une section droite.

Soient P1 et P2, v1 et v2 les pressions et vitesses en A1 et B1.

Au bout du temps dt, le fluide compris entre A1 et B1 passe entre A2 et B2.

Par hypothèse, le fluide est incompressible donc la conservation du volume impose que :

S1 . A1A2 = S2 . B1B2 = dV

Ce volume a une masse m = ρ . dV

Lors du déplacement du fluide, l’énergie cinétique varie de :

(1/2) m v2² - (1/2) m v1² = (1/2) ρ dV (v2² - v1²)

Le travail des forces extérieures ayant agit sur le fluide est la somme des forces de pression :

P1 . S1 . A1A2 – P2 . S2. B1B2 = (P1 – P2) dV

et de la pesanteur :

ρ g . dV . (z1 – z2).

Donc :

(1/2) ρ dV v1² + P1 dV + ρ g . dV . z1 =
(1/2) ρ dV v2² + P2 dV + ρ g . dV . z2)

(1/2) ρ v1² + P1 + ρ g . z1 =
(1/2) ρ v2² + P2 + ρ g . z2

v1²/2g + P1/ρ g + z1 = v2²/2g + P2/ρ g + z2
ou
v1²/2 + P1/ρ + z1 g = v2²/2 + P2/ρ + z2 g



Cette relation, constitue le théorème de Bernoulli.

3. Théorème de Bernoulli dans
un fluide compressible comme l'air

La démonstration est identique à celles pour les fluides incompressibles : elle s'appuie sur la conservation du débit et de l'énergie.

Mais on doit prendre en compte dans la variation d'énergie du système la variation d'énergie interne du fluide entre t et t + Δt.

Lorsque les effets de compressibilité dans un fluide ne sont plus négligeables (vitesse des particules de fluide comparable à la vitesse du son dans le fluide), il devient nécessaire d'apporter une correction au terme caractérisant l'énergie potentielle élastique du fluide. Dans le cas idéal d'un gaz parfait et d'un processus adiabatique, on a la formule suivante :



Pour l'air, γ = 1.40 :



À une altitude z constante, on a:



C'est la formule utilisée pour expliquer la portance sur l'aile d'un avion.

4. Complément: Le rapport γ

Si la capacité thermique à pression constante C_p d'un gaz parfait ne dépend pas de T, il en est de même de la capacité thermique à volume constant C_v en raison de la relation de Mayer.

Le quotient γ = C_p/C_v ne dépend donc pas non plus de la température : dans ce cas, le gaz parfait est dit de Laplace.

Pour un gaz parfait de Laplace, on a pour toute transformation :

ΔU = C_v ΔT
ΔH = C_p ΔT

avec U l'énergie interne du gaz et H son enthalpie, d'où :

Δ H = γ . Δ U

Or, la définition de l'enthalpie permet d'écrire :

ΔH = ΔU + VΔP

On en déduit que :

V ΔP = (γ - 1) Δ U = (γ - 1)/γ . Δ H

Des valeurs particulières de γ modélisent le comportement de certains gaz.

Pour un gaz parfait monoatomique γ= 5/3, on obtient :

V ΔP = (2/3) ΔU = (2/5) ΔH

Le comportement de l'argon est très proche d'un gaz parfait monoatomique.

Pour un gaz parfait diatomique γ = 7/5, on obtient :

V ΔP = (2/5) ΔU = (2/7) ΔH

Le comportement du diazote N2 est proche d'un gaz parfait diatomique.

Pour l'air γ = 1.40 et γ/(γ - 1) = 7/2

L'équation devient:

v²/2 + g z + (7/2) P/ρ = constante.