L'Arithmétique égyptienne utilsait la décomposition de toute fraction en somme de fractions de numérateurs 1.
En ce momemt, on démontre que toute fraction peut se décomposer
ainsi. Il peut être montré que tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme y compris tout nombre réel et ce, d'une infinité de façons différentes.
Avec une répétitionIl est facile d'exprimer toute fraction en une somme de fractions unitaires .
Par exemple: 4/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5.
Mais si l'on exige que tous les dénominateurs soient distincts, comme le faisaient les égyptiens, cela est moins aisé.
On dispose cependant, dès le moyen âge, en 1202, de la formule du mathématicien italien Leonardo Fibonacci:
Par exemple: 1/5 = 1/6 + 1/5(5 + 1) = 1/5 + 1/30.
La fraction 2/5 se décompose donc comme suit:
2/5 = 1/5 + 1/5. On laisse un 1/5 et on décompose l'autre,
2/5 = 1/5 + 1/5
2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30
En appliquant le même procédé à chacune des fractions unitaires, 2/5 peut donc s'exprimer comme une multitude de fractions égyptiennes.
2. Algorithme de calcul
d'une fraction égyptienne
Voici un algorithme permettant de décomposer toute fraction en
un nombre minimal de fractions unitaires permettant une décomposition
en fractions égyptiennes:
Exemple : La fraction 5/8.
• On dividse 8 par 5. Le quotient c'est 1,
• on ajoute 1 au quotient. On obtient d = 2,
C'est le dénominateur de la nouvelle fraction. Donc
5/8 = 1/2 + une_autre. d'où :
une_autre = 5/8 - 1/2 = (5 x 2 - 8)/(8 x 2) = 2/16 = 1/8
• On répète le même procédé jusqu'à l'itération qui
donne une fraction dont le numérateur divise le dénominateur.
Remarque:
Dans le cas ou la fraction est impropre (fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur), on retire la partie entière
et on obtient la fraction propre.
Dans ce logiciel, il est utilisé l'algorithme cité
plus haut, pour donner la décomposition de n'importe quel
réel en fractions égyptiennes.