Physique 23 : Optique
Lentilles convergentes
Lentilles divergentes
Conventions de signes
Équations non algébriques

1. équations non algébriques

Couramment, pour les équations des lentilles, on utilise les formules non algébrique en lui associant des règles de signes pour rester valide dans tous les cas:



ho : hauteur de l'objet
hi : hauteur de l'image
lo : distance entre le foyer secondaire et l'objet
li : distance entre le foyer principal et l'image
lf : distance entre le foyer principal et la lentille (longueur focale)
do : distance entre l'objet et la lentille
di : distance entre l'image et la lentille

1. Relation entre les distances de l'objet et
de son image (do et di) par rapport au centre de la lentille: Formule de Descartes

D'après le théorème de Thalès,

di/do = f/(do - f)

Soit

1/do + 1/di = 1/ƒ

1/do + 1/di = 1/ƒ

C'est la formule de Descartes.

2. Relation entre les distances de l'objet et
de son image (li et lo) par rapport au foyer de la lentille: Formule de Newton

Nous avons:

do = lf + lo = ƒ + lo
di = lf + li = ƒ + li

La relation de Descartes trouvée plus haut s'ecrit:

1/(ƒ + lo) + 1/(ƒ + li) = 1/ƒ
(2ƒ + lo + li)/(ƒ + lo)(ƒ + li) = 1/ƒ
ƒ (2ƒ + lo + li) = (ƒ + lo)(ƒ + li)

On développe:

2ƒ² + ƒ lo + ƒ li = ƒ² + ƒli + ƒlo + li lo

On réduit:

ƒ² = lilo

ƒ² = li lo

C'est la formule de Newton.

3. Résumé
$$\bf\large\color{blue}{ \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} = \frac{2}{R} }$$ $$\bf\large\color{brown}{ l_i \times l_o = l_f^2 }$$ $$\bf\large\color{green}{ g = \frac{h_i}{h_o} = \frac{l_f}{l_o} = \frac{l_i}{l_f} }$$

2. Conventions de signes

• La longueur focale d'une lentille convergente est positive alors que celle d'une lentille divergente est négative.

• Par convention, les rayons lumineux incidents se propagent toujours de la gauche vers la droite sur les schémas de systèmes optiques.

• La hauteur de l'objet est positive.

• La distance entre l'objet et la lentille est positive si l'objet se trouve à gauche de la lentille (objet réel).

• La distance entre l'image et la lentille est positive si l'image se trouve à droite de la lentille (image réelle) et est négative si elle se trouve à gauche (image virtuelle).

• La hauteur de l'image est positive si celle-ci est réelle, et est négative si elle est virtuelle.

• La distance entre l'objet et le foyer secondaire de la lentille est positive si elle est mesurée vers la gauche et est négative si elle est mesurée vers la droite.

• La distance entre l'image et le foyer principal de la lentille est positive si elle est mesurée vers la droite et est négative si elle est mesurée vers la gauche.

4. Exemples

Exemple 1

Déterminons la position de l'image d'un objet situé 6 cm devant une lentille divergente de 3 cm de longueur focale.

di = ?
do = + 6
f = - 3

On applique la formule:

$\bf { \frac{1}{\overline{di}} + \frac{1}{do} = \frac{1}{f} \\ \frac{1}{\overline{di}} + \frac{1}{6} = \frac{1}{- 3} \\ \frac{1}{\overline{di}} = - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} \\ \overline{di} = - 2 \; cm \\ } \\ \text{ } \\ \text{L'objet est situé à gauche de la lentille.}$

Exemple 2

Déterminons la position de l'image d'un objet situé 6 cm devant une lentille convergente de 3 cm de longueur focale.

di = ?
do = + 6
f = + 3

On applique la formule:

$\bf { \frac{1}{\overline{di}} + \frac{1}{do} = \frac{1}{f} \\ \frac{1}{\overline{di}} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{\overline{di}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \\ \overline{OA'} = + 6 \; cm \\ } \\ \text{ } \\ \text{L'objet est situé à droite de la lentille.}$

Exemple 3

Déterminons la longeur focale d'une lentille et sa nature si elle conjugue un objet réel situé à 6 m de son centre en son image réelle située à 3 m également de son centre.

Lorsque l'objet est réel et l'image est réelle, alors la lentille est convergente et donc di > 0)

di = + 3
do = + 6
f = ?

On applique la formule:

$\bf { \frac{1}{\overline{di}} + \frac{1}{do} = \frac{1}{f} \\ \frac{1}{\overline{3}} + \frac{1}{6} = \frac{1}{f} = \frac{1}{\overline{2}} \\ \overline{OF}= + 2 \; cm. } \\ \text{ } \\ \text{La lentille convergente est de distance focale f = + 2 cm . }$