1. Définitions:
Un cycle thermodynamique sur une machine est
un ensemble de procesus effectués de telle sorte
que le système revient à son point de départ.
Dans ce cas toutes les variations des variables d'etat comme l'energie
interne, l'enthalpie, et l'entropie, au cours du cycle sont nulles:
ΔU = U(final) - U(initial) = U(initial - U(initial) = 0.
De même ΔH = 0 et ΔS = 0
D'après le premier prinicipe Q - W = ΔU pour un système
fermé, ou Q - W = ΔH pour un système ouvert, On a:
Wcycle = Qcycle.
Celà veut dire que la mchine, au cours du cycle ne garde
rien pour elle; elle est juste le siège de transformations.
Le rendement d'une machine, comme tout rendement, est le rapport
entre ce que la machine nous donne et ce qu'on lui donne.
On peut l'ecrire: η = Fourni/Reçu .
Une machine thermique doit fonctionner avec deux sources de
chaleur, une chaude Qc et une froide Qf. Au cours d'un cycle, la
machine recoit Qc et rejette Qf, tout en ne gardant rien pour elle.
Au cours de ce cycle Qcyle = Qc - Qf. Cette différence
est égale au travail net Wnet = Wcycle extrait de la machine.
Le travail est net, puisqu'on doit tenir compte d'un travail qui
peut être donné à la machine, donc reçu par elle. On peut ecrire
Wnet = Wfourni - Wreçu
Wfourni = fourni par la machine, Wreçu = reçu par la machine
Nous ecrivons:
η = Wcycle (net)/Qc(reçue) = (Wfourni - Wreçu)/Qc
= Qcycle/Qc = (Qc - Qf)/Qc = 1 - (Qc/Qf)
Retenons:
η = Wcycle(net)/Qc = (Qc - Qf)/Qc
Remarque: Dans le référentiel du
système, Qf est toujours négative. Dans ce cas, il s'agit
bien de Qc - |Qf|
2. Le cycle de Carnot:
Tc est la température de la source chaude,
Tf est la température de la source froide.
Le processus 1-2 est une transformation isentrropique ΔS = 0.
C'est une compression qui élève la température du système de Tf à Tc.
Le processus 2-3 est une transformation isotherme acompagnée d'un
apport de chaleur Qc qui permet de garder cette température Tc
constante et égale à la température de la source chaude le long
de ce processus 2-3.
Le processus 3-4 est une transformation isentrropique ΔS = 0.
C'est une détente qui baisse la température du système de Tc à Tf.
C'est en ce moment que le système fourni du travail à l'extérieur.
Le processus 4-1 qui ferme le cycle est une transformation isotherme
acompagnée d'un rejet de chaleur Qc qui permet de garder cette
température Tf constante et égale à la température de la source froide
le long de ce processus 4-1.
Nous avons:
ΔS(1-2) = S2 - S1 = 0
ΔS(2-3) = S3 - S2 = Qc/Tc → Qc = Tc(S3 - S2)
ΔS(3-4) = S4 - S3 = 0
ΔS(4-1) = S1 - S4 = Qf/Tf → Qf = Tf(S1 - S4) qui
est négatif; d'une part.
D'autre part, ΔS(2-3) = - ΔS(4-1)
C'est à dire:
Qc/Tc = - Qf/Tf → Qf/Qc = - Tf/Tc → |Qf|/Qc = Tf/Tc
Le rendement de cette machine idéale est :
η = (Qc - |Qf|)/Qc = 1 - (|Qf|/Qc) = 1 - (Tf/Tc)
Cycle de Carnot (cycle parfait ou idéal)
ηcarnot = 1 - (Tf/Tc)
2. Le cycle de Brayton:
Cette machine est constituée d'un compresseur (1-2), d'une
chambre de combustion (2-3)qui apporte une quantité de chaleur
QC, d'une turbine (3-4) qui recuille le travail fourni, et d'un
dispositif d'echappement refroidissant Qf.
On désigne par &taux; le taux de compression de la machine, c'est
à dire lors du processus de compression (1-2) P2 = Ï„ P1 et
lors du processus de détente (3-4) P3 = Ï„ P4.
Processus 1-2: au niveau du compresseur:
Le gaz (air) est compressé, sa température s'élève de T1 à T2 et
sa pression s'elève de P1 à P2.
Le processus est isentropique (adiabatique et reversible), donc:
Q = 0 → W = - ΔH = - CpΔT
W(reçu) = - ΔH = - CpΔT
Le processus étant adiabatique:
T2 = T1[P2/P1](γ - 1)/γ
ΔT = T2 - T1, donc
T2 - T1 = T1[[P2/P1](γ - 1)/γ - 1]
ou, avec Ï„ = P2/P1
T2 - T1 = T1[[τ](γ - 1)/γ - 1]
et
W(reçu) = - CpΔT = - Cp(T2 - T1)
Processus 2-3: au niveau de la chambre de combustion:
La combustion se fait à pression constante; le processus est
isobare P2 = P3. Sous l'effet de la chaleur reçue Qc, la
tempéraure de procédé (air) s'élève de T2 à T3. Nous avons:
Qc = CpΔT = Cp(T3 - T2)
Processu 3-4: au niveau de la turbine:
Le température baisse de T3 à T4.
Le processus est adiabatique (puisque c'est isentropique),
donc
Q = 0 → W = - ΔH = - CpΔT
W (fourni)= - CpΔT
avec ΔT = T4 - T3
W (fourni)= - Cp(T4 - T3)
T4 = T3[P4/P3](γ - 1)/γ
donc T4 - T3 = T3[[P4/P3](γ - 1)/γ - 1]
ou
T4 = T3[1/τ](γ - 1)/γ
T4 - T3 = T3[[1/τ](γ - 1)/γ - 1]
Processus 4-1 au niveau du refroidissement:
Durant le processus 4-1, qui est isobare, le gaz est
refroidi en cédant une quantité de chaleur Qf. Nous avons
Qf = CpΔT = Cp(T1 - T4)
T1 - T4 = T1 - T3[1/τ](γ - 1)/γ
Rendemant de la machine:
Le rendement de cette machine est :
η = W(net)/W(reçu)= [W(reçu)- |W(fourni)|]/W(reçu)
Reçu au niveau du compresseur et fourni au niveau de
la turbine.
W((net) = W(reçu) - W(fourni) = - Cp(T2 - T1)+ Cp(T4 - T3)
η = [- Cp(T2 - T1) + Cp(T4 - T3)]/ [- Cp(T2 - T1)] =
η = 1 - [|(T4 - T3)|/(T2 - T1)]
η = 1 - {T3[[1/τ](γ - 1)/γ - 1 / T1[[τ](γ - 1)/γ - 1]}
Connaissant T1 et T3 , on peut calculer T2 et T4
Connaissant le taux de compression P2/P1 = Ï„ = P3/P4
On peut par conséquent calculer η
On peut aussi verifier que:
η = (Qc - Qf)/Qc = 1 - (Qf/Qc) =
1 - [ Cp(T1 - T4)/Cp(T3 - T2)]
= 1 - [|(T1 - T4)|/(T3 - T2)]
Sous form compacte:
η = 1 - {T1 - T3[1/τ](γ - 1)/γ} /
{T3 - T1[τ](γ - 1)/γ}
= 1 - [[1/τ](γ - 1)/γ]{T1[τ](γ - 1)/γ - T3} /
{T3 - T1[τ](γ - 1)/γ}
= 1 - [[1/τ](γ - 1)/γ]{T1[τ](γ - 1)/γ - T3} /
{T3 - T1[τ](γ - 1)/γ}
= 1 - [[1/τ](γ - 1)/γ]
ηbrayton =
1 - [[1/τ](γ - 1)/γ]
Application:
Si T1 = 20 oC, T3 = 1200 oC, γ = 1.4, et τ = 10, alors:
η = 1 - [[1/10](1.4 - 1)/1.4] = 1 - 0.52 ≈ 48%
1. Le cycle d'Otto:
Le moteur à combustion interne à quatre temps, comme
celui d'une voiture, fonctionne sous ce cycle.
Le point 0 est appelé le point mort haut: PMH
Le point 1 est appelé le point mort bas: PMB
Tc est la température de la source chaude,
Tf est la température de la source froide.
Le taux de compression volumique Ï„ = (V + v)/v
V = volume pendant la course du piston
v = volume de la chambre de combustion
1. Le temps 0-1:
Le piston dans le cylindre descend du PMH au PMB
en aspirantle mélange air-essence, son volume augmente
de v à V de façon isobare.
2. Le temps 1-2:
Le gaz est comprimé de façon adiabatique et réversible,
le volume du cylindre diminue de (V + v) à v, sa
pression augmente de P1 à P2, et sa température augmente
de T1 à T2.
On a donc Q = 0 → W = - ΔH = - Cp
ΔT = - Cp (T2 - T1) =
P1V1γ = P2V2γ
P2 = P1 (V1/V2)γ = P1[(V + v)/v]γ =
P1 τγ
P2 = P1 τγ
T2/T1 = (V1/V2)γ - 1 =(P2/P1)(γ - 1)/γ
T2 = T1 [(v + V)/v]γ - 1 = T1 [τ]γ - 1
T2 = T1 [τ]γ - 1
3. Le temps 2-3:
La combustion étant isochore, donc la chaleur fourni aux
gaz est Qc = ΔU = Cv ΔT = Cv (T3 - T2)
D'où T3 = Qc/Cv + T2
Comme P3/P2 = T3/T2, donc: P3 = P2 (T3/T2) = P1 τγ (T3/T2)
P3 = P1 τγ (Qc/T2Cv + 1)
P3 = P1 τγ [(Qc/(T1 [τ]γ - 1)Cv) + 1]
4. Le temps 3-4:
Les gaz se détendent en fournissant un travail mécanique.
La pression diminiue et le volume augmente. La transformation est
adiabatique réversible:
T4/T3 = (V3/V4)γ - 1 = [v/(V + v)]γ - 1 =
[1/τ]γ - 1
T4 = T3[1/τ]γ - 1
On P3V3γ = P4V4γ
Donc:
P4 = P3 (V3/V4)γ =
= P3 [v/(V + v)]γ = P3 [1/τ]γ
5. Le temps 4-1:
Le système cède de la chaleur à l'exterieur.
Qf = CvΔT = Cv (T1 - T4) = Cv (T1 - T3[1/τ]γ - 1)
6. Le temps 1-0:
Les gaz dégagent à l'atmosphère de façon isobareet le cycle
recommance.
Le rendement:
η = 1 - (|Qf|/Qc) = 1 - |(Cv (T1 - T4)|/Cv (T3 - T2)) =
Qf/Qc = Cv (T1 - T4)/Cv (T3 - T2 = (T1 - T3[1/τ]γ - 1)/
(T3 - T1 [τ]γ - 1)
= [1/τ]γ - 1 (T1[τ]γ - 1) - T3)/
T3 - T1 [τ]γ - 1)
= [1/τ]γ - 1 (-1)
Donc:
|Qf|/Qc = [1/τ]γ - 1
Donc:
ηotto = 1 - (1/τ)γ - 1
Application:
T1 = 20 oC, P1 = 1 bar, Qc = 1800 kJ/kg et Ï„ = 9
Pour l'air, on a: Cp = 1.004 kJ/kg oK et
R = 0.287 kJ/kg oK et γ = 1.4
On trouve:
T2 = T1 [τ]γ - 1 = (20 + 273) 90.4 =
705.6 oK
T3 = Qc/Cv + T2 = Qc/(R - Cp) + T2 = 1800/(1.004 - 0.287) + 705.6 =
3216.1 oK
T4 = T3[1/τ]γ - 1 = 3216.1 (1/9)0.4 =
1335.5 oK
Qf = CvΔT = Cv (T1 - T4) = (1.004 - 0.287)(20 + 273 - 1335.5) =
-747.5 kJ/kg
ηOtto = 1 - (1/τ)(γ - 1) =
58.5 %
1. Le cycle de Diesel:
Le cycle de Diesel opère de la même façon que le
cycle d'Otto, sauf au niveau de la combustion, c'est
à dire au niveau du processus 2-3 où la chaleur reçue
Qc se fait à isobare = pression constante. l'expression du
rendement est exactement la même, qui est ici fonction de Cp.
Nous avons:
P2 = P3
Le volume change de V2 à V3
Qc = ΔU = Cp ΔT = Cp (T3 - T2)
D'où T3 = Qc/Cv + T2
Le taux de compression volumique Ï„(3-4) à la détente est
le rapport de V3 et V4 tels que:
La loi des gaz parfaits avec V4 = V1 et P2 = P3 donne:
V3 = RT3/P3 et V4 = V1 = RT1/P1 → V4/V3 = (T1/T3) x (P3/P1)
Ï„(3-4) = (T1/T3) x (P2/P1)
Ï„ (1-2) est le taux de compression volumique pendant
la phase 1-2. Ï„(1-2) = P2/P1
Donc:
Ï„(3-4) = (T1/T3) x (Ï„(1-2))
Le rendement:
η = 1 - (|Qf|/Qc)
Application:
T1 = 15 oC, P1 = 1 bar, Qc = 2000 kJ/kg et Ï„ = 21 (taux volumique)
Pour l'air, on a: Cp = 1.004 kJ/kg oK et R = 0.287 kJ/kg oK et γ
= 1.4
On trouve:
P2 = P1 τ(1-2)γ = 1 (21)1.4 = 70.97 bars
T2 = T1 [τ(1-2)]γ - 1 = (15 + 273)(21)0.4
= 973.4 oK
P3 = P2 = 70.97 bars (processus isobare)
T3 = Qc/Cp + T2 = (2000/1.004) + 973.4 = 2965.4 oK
Ï„(3-4) = (T1/T3) x (P3/P1) = (288/2965.4) x (70.97/1) = 6.893
P4 = P3 [1/τ(3-4)]γ = 70.97 x (1/6.893)1.4 =
4.76 bars.
T4 = T3 [1/τ(3-4)]γ - 1 =
2965.4 x (1/6.893)0.4 = 1370.0 oK
Qc = CpΔT = Cp (T3 - T2) = 1.004 x (2965.4 - 973.4) =
2000.0 oK
Qf = CvΔT = Cv (T1 - T4) = (Cp - R) ( T1 - T4) =
0.717 x (15 + 273 - 1370.0)= - 775.6 kJ
Le rendement:
η = 1 - (|Qf|/Qc) = 1 - 775.6/1992.0 = 61%
|
